高一數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)分析
高一數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)分析
平面向量是高一的知識(shí)點(diǎn)，想要學(xué)習(xí)好需要學(xué)生把握好概念和運(yùn)算，下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)?lái)的有關(guān)于高中數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)的具體介紹，希望能夠幫助到大家。
高一數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)
向量：既有大小，又有方向的量.
數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量.
有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.
零向量：長(zhǎng)度為的向量.
單位向量：長(zhǎng)度等于個(gè)單位的向量.
相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量
&向量的運(yùn)算
加法運(yùn)算
AB+BC=AC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是向量OA、OB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對(duì)于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。
減法運(yùn)算
與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
數(shù)乘運(yùn)算
實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當(dāng)λ > 0時(shí)，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ< 0時(shí)，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時(shí)，λa = 0。
設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。
向量的數(shù)量積
已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。
a.b的幾何意義：數(shù)量積a.b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。
兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。
高一必修二數(shù)學(xué)平面的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)
平面的基本性質(zhì)
教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)與能力：
(1)鞏固平面的基本性質(zhì)即四條公理和三條推論.
(2)能使用公理和推論進(jìn)行解題.
2、過(guò)程與方法：
(1)體驗(yàn)在空間確定一個(gè)平面的過(guò)程與方法;
(2)掌握利用平面的基本性質(zhì)證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)、多線共面的方法。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：
培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察的態(tài)度，慎密思考的習(xí)慣，提高學(xué)生的審美能力和空間想象的能力。
教學(xué)重點(diǎn)
平面的三條基本性質(zhì)即三條推論.
教學(xué)難點(diǎn)
準(zhǔn)確運(yùn)用三條公理和推論解題.
教學(xué)過(guò)程
一、問(wèn)題情境
問(wèn)題1：空間共點(diǎn)的三條直線能確定幾個(gè)平面?空間互相平行的三條直線呢?
問(wèn)題2：如何判斷桌子的四條腿的底端是否在一個(gè)平面內(nèi)?
二、溫故知新
公理1
如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).
公理2
如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.
公理3
經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.
推論1
經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.
推論2
經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.
推論3
經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.
公理 4(平行公理) 平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
把以上各公理及推論進(jìn)行對(duì)比：
三、數(shù)學(xué)運(yùn)用
基礎(chǔ)訓(xùn)練：(1)已知： ;求證：直線AD、BD、CD共面.
證明： ——公理3推論1
——公理1
同理可證， , 直線AD、BD、CD共面
【解題反思1】1。邏輯要嚴(yán)謹(jǐn)
2.書(shū)寫(xiě)要規(guī)范
3.證明共面的步驟：
(1)確定平面——公理3及其3個(gè)推論
(2)證線“歸” 面(線在面內(nèi)如： )——公理1
(3)作出結(jié)論。
變式1、如果直線兩兩相交，那么這三條直線是否共面?(口答)
變式2、已知空間不共面的四點(diǎn)，過(guò)其中任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，由這四個(gè)點(diǎn)能確定幾個(gè)平面?
變式3、四條線段順次首尾連接，所得的圖形一定是平面圖形嗎?(口答)
(2)已知直線 滿足： ;求證：直線
證明： ——公理3推論3
——公理1
直線 共面
提高訓(xùn)練：已知 ，求證： 四條直線在同一平面內(nèi).
思路分析：考慮由直線a,b確定一個(gè)平面，再證明直線c,l在此平面上，但十分困難。因而可以開(kāi)放思路，考慮確定兩個(gè)平面，再證明兩個(gè)平面重合，問(wèn)題迎刃而解。
證明：
——公理3推論3
——公理3推論3
——公理1
因此，平面 同時(shí)經(jīng)過(guò)兩條相交直線 所以平面 重合。——公理3推論2
直線 共面
上面方法稱為同一法
拓展訓(xùn)練：如圖，三棱錐A-BCD中，E、G分別是BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF:FC=DH:HA=2:3;求證：EF、GH、BD交于一點(diǎn).[滲透空間問(wèn)題平面化思想]
思路分析：思路1：開(kāi)放思路，考慮三個(gè)平面，首先證明兩條直線在一個(gè)面內(nèi)，并且相交，然后證明交點(diǎn)在兩個(gè)平面上，據(jù)公理2知它在兩面唯一的交線——第三條直線上，因此證得三線共點(diǎn)。
證法1：連接 ，
因 E、G分別是BC、AB的中點(diǎn)，故 因DF:FC=DH:HA=2:3,故 ——公理4
共面，由上知， 相交，設(shè)交點(diǎn)為O,則 平面 , 平面 ,
所以 直線 所以EF、GH、BD交于一點(diǎn)。
思路2：首先證明直線 GH、BD交于一點(diǎn)P,直線EF 、BD交于一點(diǎn)Q，然后證明兩點(diǎn)P、Q重合，進(jìn)而得出EF、GH、BD交于一點(diǎn)。
證法法2：提示：過(guò)點(diǎn)H作HO,使得 ,交點(diǎn)為O，連接OF，證明 ,
延長(zhǎng)GH,EF,使它們與直線BD分別交于點(diǎn)P、Q，由三角形相似可以得出OP=OQ.所以點(diǎn)P、Q重合。
鏈接生活：在正方體木頭中，試畫(huà)出過(guò)其中三條棱的中點(diǎn)P、Q、R的平面截得木頭的截面形狀.
【解題反思2】1。邏輯要嚴(yán)謹(jǐn)
2.書(shū)寫(xiě)要規(guī)范
3.方法要掌握
(1)證明共面的步驟：
1)確定平面——公理3及其3個(gè)推論——公理3及3個(gè)推論
2)證線“歸” 面(線在面內(nèi)如： )——公理1
3)作出結(jié)論。
(2)證明共線的步驟：
?、僮C所有點(diǎn)在第一個(gè)面內(nèi)(如平面 )——公理1
?、谧C所有點(diǎn)在第二個(gè)面內(nèi)(如平面 ) ——公理1
③結(jié)論1：所有點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上
?、芙Y(jié)論2：所有點(diǎn)共線——公理2
(3)證明共點(diǎn)的步驟：
1)證交于一個(gè)點(diǎn)——公理3及3個(gè)推論
2)證此點(diǎn)在二個(gè)面內(nèi)(如平面 ) ——公理1
3)結(jié)論1：此點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上——————公理2
4)結(jié)論2：三條線共點(diǎn)
四、回顧小結(jié)
本節(jié)主要復(fù)習(xí)了平面三個(gè)公理和三個(gè)推論，學(xué)會(huì)了如何使用公理及其推論解題.
五、課外作業(yè)(見(jiàn)所發(fā)的前置作業(yè))
反饋練習(xí)
[ 1.2.1 平面的基本性質(zhì)(2)]
1、經(jīng)過(guò)同一直線上的3個(gè)點(diǎn)的平面( )
A、有且只有1個(gè) B、有且只有3個(gè) C、有無(wú)數(shù)個(gè) D、有0個(gè)
2、若空間三個(gè)平面兩兩相交，則它們的交線條數(shù)是( )
A、1或2 B、2或3 C、1或3 D、1或2或3
3、與空間四點(diǎn)距離相等的平面共有( )
A、3個(gè)或7個(gè) B、4個(gè)或10個(gè) C、4個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè) D、7個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)
4、四條平行直線最多可以確定( )
A、三個(gè)平面 B、四個(gè)平面 C、五個(gè)平面 D、六個(gè)平面
5、四條線段首尾順次相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有 個(gè).
6、給出以下四個(gè)命題：
?、偃艨臻g四點(diǎn)不共面，則其中無(wú)三點(diǎn)共線;
?、谌糁本€l上有一點(diǎn)在平面 外，則l在 外;
?、廴糁本€ 、 、 中， 與 共面且 與 共面，則 與 共面;
?、軆蓛上嘟坏娜龡l直線共面.
其中所有正確的命題的序號(hào)是 .
7.點(diǎn)P在直線l上，而直線l在平面 內(nèi)，用符號(hào)表示為( )
A. B. C. D. 8.下列推理，錯(cuò)誤的是( )
A. B. C. D. 9.下面是四個(gè)命題的敘述語(yǔ)(其中A、B表示點(diǎn)， 表示直線， 表示平面)
① ② ③ ④ 其中敘述方法和推理過(guò)程都正確的命題的序號(hào)是_______________.
10、已知A、B、C不在同一條直線上，求證：直線AB、BC、CA共面.
11、求證：如果一條直線與兩條平行線都相交，那么這三條直線在同一個(gè)平面內(nèi).
已知：直線 、 、 且 ， ， ;
求證：直線 、 、 共面.
12、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
?、貯A1與CC1能否確定一個(gè)平面?為什么?
?、邳c(diǎn)B、C1、D能否確定一個(gè)平面?為什么?
③畫(huà)出平面ACC1A1與平面BC1D的交線，平面ACD1與平面BDC1的交線.
13、兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線共面.(注：有兩種情形，見(jiàn)圖，試分別證之)
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