廣東高一數(shù)學充分條件與必要條件知識點
廣東高一數(shù)學充分條件與必要條件知識點
充分條件和必要條件是數(shù)學的重要概念,同時因其抽象而成為學生難于理解的內(nèi)容,下面是學習啦小編給大家?guī)淼膹V東高一數(shù)學充分條件與必要條件知識點，希望對你有幫助。
數(shù)學充分條件與必要條件知識點
一、充分條件和必要條件
當命題“若A則B”為真時，A稱為B的充分條件，B稱為A的必要條件。
二、充分條件、必要條件的常用判斷法
1.定義法：判斷B是A的條件，實際上就是判斷B=>A或者A=>B是否成立，只要把題目中所給的條件按邏輯關系畫出箭頭示意圖，再利用定義判斷即可
2.轉(zhuǎn)換法：當所給命題的充要條件不易判斷時，可對命題進行等價裝換，例如改用其逆否命題進行判斷。
3.集合法
在命題的條件和結論間的關系判斷有困難時，可從集合的角度考慮，記條件p、q對應的集合分別為A、B，則：
若A⊆B，則p是q的充分條件。
若A⊇B，則p是q的必要條件。
若A=B，則p是q的充要條件。
若A⊈B，且B⊉A，則p是q的既不充分也不必要條件。
三、知識擴展
1.四種命題反映出命題之間的內(nèi)在聯(lián)系，要注意結合實際問題，理解其關系(尤其是兩種等價關系)的產(chǎn)生過程，關于逆命題、否命題與逆否命題，也可以敘述為：
(1)交換命題的條件和結論，所得的新命題就是原來命題的逆命題;
(2)同時否定命題的條件和結論，所得的新命題就是原來的否命題;
(3)交換命題的條件和結論，并且同時否定，所得的新命題就是原命題的逆否命題。
2.由于“充分條件與必要條件”是四種命題的關系的深化，他們之間存在這密切的聯(lián)系，故在判斷命題的條件的充要性時，可考慮“正難則反”的原則，即在正面判斷較難時，可轉(zhuǎn)化為應用該命題的逆否命題進行判斷。一個結論成立的充分條件可以不止一個，必要條件也可以不止一個。
數(shù)學充分條件與必要條件內(nèi)容練習及解析
一、選擇題(每小題3分,共18分)
1.使x>1成立的一個必要條件是( )
A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2
【解析】選A.只有x>1⇒x>0,其他選項均不可由x>1推出,故選A.
2.已知p:x2-x<0,那么命題p的一個充分條件是( )
A.0<x<2B.-1<x<1
C. <x< D. <x<2
【解析】選C.x2-x<0⇒0<x<1,運用集合的知識易知只有C中由 <x< 可以推出0<x<1,其余均不可,故選C.
3.下列p是q的必要條件的是( )
A.p:a=1,q:|a|=1B.p:a<1,q:|a|<1
C.p:a<b,q:a <b+1D.p:a>b,q:a>b+1
【解析】選D.要滿足p是q的必要條件,即q⇒p,只有q:a>b+1⇒q:a-b>1⇒p:a>b,故選D.
4.下列所給的p,q中,p是q的充分條件的個數(shù)是( )
?、賞:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;
?、踦:x=3,q:sinx>cosx;④p:直線a,b不相交,q:a∥b.
A.1B.2C.3D.4
【解題指南】根據(jù)充分條件與必要條件的意義判斷.
【解析】選C.①由于p:x>1⇒q:-3x<-3,所以p是q的充分條件;
?、谟捎趐:x>1⇒q:2-2x<2(即x>0),所以p是q的充分條件;
③由于p:x=3⇒q:sinx>cosx,所以p是q的充分條件;
④由于p:直線a,b不相交 q:a∥b,所以p不是q的充分條件.
5.如果不等式|x-a|<1成立的充分但不必要條件是 <x< ,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. <a< B. ≤a≤
C.a> 或a< D.a≥ 或a≤
【解析】選B.|x-a|<1⇔a-1<x<a+1,
由題意知 (a-1,a+1),
則有 且等號不同時成立,
解得 ≤a≤ ,故選B.
【變式訓練】集合A= ,B={x||x-b|<a},若“a=1”是“A∩B≠ ”的充分條件,則實數(shù)b的取值范圍是 _____________.
【解析】“a=1”是“A∩B≠ ”的充分條件的意思是說當a=1時,A∩B≠ ,現(xiàn)在A=(-1,1),B=(b-1,b+1),由A∩B≠ 得-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即0≤b<2或-2<b≤0,所以b的范圍是-2<b<2.
答案:(-2,2)
6.已知等比數(shù)列{an}的公比為q,則下列不是{an}為遞增數(shù)列的充分條件的是
( )
?、賏1<a2;②a1>0,q>1;③a1>0,0<q<1;④a1<0,0<q<1.
A.①②B.①③C.③④D.①③④
【解析】選B.由等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列⇔an<an+1⇔a1qn-1<a1qn⇔a1qn-1(1-q)<0,
若a1>0,則qn-1(1-q)<0,得q>1;
若a1<0,則qn-1(1-q)>0,得0<q<1.
所以等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列⇔a1>0,q>1或a1<0,0<q<1.
所以a1>0,q>1⇒等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,
或a1<0,0<q<1⇒等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;
由a1<a2不能推出等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,如a1=-1,a2=2.
【舉一反三】若把本題中的“不是{an}為遞增數(shù)列的充分條件”改為“是{an}為遞增數(shù)列的必要條件”,其他不變,結論如何?
【解析】由等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列⇒a1<a2.
由等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 a1>0,q>1,
由等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 a1>0,0<q<1,
由等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 a1<0,0<q<1.
故a1<a2是{an}為遞增數(shù)列的必要條件.
二、填空題(每小題4分,共12分)
7.“lgx>lgy”是“ > ”的 條件.
【解析】由lgx>lgy⇒x>y>0⇒ > .而 > 有可能出現(xiàn)x>0,y=0的情況,故 > lgx>lgy.
答案:充分
【變式訓練】“x>y”是“lgx>lgy”的 條件.
【解析】因為x>y lgx>lgy,比如y<x<0,
lgx與lgy無意義,而lgx>lgy⇒x>y.
答案:必要
8.函數(shù)f(x)=a- 為奇函數(shù)的必要條件是 _________.
【解析】由于f(x)=a- 定義域為R,且為奇函數(shù),
則必有f(0)=0,即a- =0,所以a=1.
答案:a=1
9.(2014•廣州高二檢測)滿足tanα=1的一個充分條件是α= (填一角即可)
【解析】由于tanα=1,故α=kπ+ (k∈Z),
取α= ,顯然,α= 是tanα=1的一個充分條件.
答案:
三、解答題(每小題10分,共20分)
10.分別判斷下列“若p,則q”命題中,p是否為q的充分條件或必要條件,并說明理由.
(1)p:sinθ=0,q:θ=0.
(2)p:θ=π,q:tanθ=0.
(3)p:a是整數(shù),q:a是自然數(shù).
(4)p:a是素數(shù),q:a不是偶數(shù).
【解析】(1)由于p:sinθ=0⇐q:θ=0,p:sinθ=0 q:θ=0,
所以p是q的必要條件,p是q的不充分條件.
(2)由于p:θ=π⇒q:tanθ=0,p:θ=π q:tanθ=0,
所以p是q的充分條件,p是q的不必要條件.
(3)由于p:a是整數(shù) q:a是自然數(shù),
p:a是整數(shù)⇐q:a是自然數(shù),
所以p是q的必要條件,p是q的不充分條件.
(4)由于p:a是素數(shù) q:a不是偶數(shù),
所以p是q的不充分條件,p是q的不必要條件.
11.若p:-2<a<0,0<b<1;q:關于x的方程x2+ax+b=0有兩個小于1的不等正根,則p是q的什么條件?
【解析】若a=-1,b= ,則Δ=a2-4b<0,關于x的方程x2+ax+b=0無實根,故p q.
若關于x的方程x2+ax+b=0有兩個小于1的不等正根,不妨設這兩個根為x1,x2,且0<x1<x2<1,
則x1+x2=-a,x1x2=b.
于是0<-a<2,0<b<1,即-2<a<0,0<b<1,故q⇒p.
所以,p是q的必要條件,但不是充分條件.
【一題多解】針對必要條件的判斷給出下面另一種解法:設f(x)=x2+ax+b,因為關于x的方程x2+ax+b=0有兩個小于1的不等正根,所以
即 ⇒-2<a<0,0<b<1,即q⇒p.所以,p是q的必要條件,但不是充分條件.
一、選擇題(每小題4分,共16分)
1.不等式1- >0成立的充分條件是( )
A.x>1B.x>-1
C.x<-1或0<x<1D.x<0或x>1
【解析】選A.不等式1- >0等價于 >0,解得不等式的解為x<0或x>1,比較選項得x>1為不等式成立的充分條件,故選A.
2.(2014•青島高二檢測)函數(shù)y=x2+bx+c,x∈[0,+∞)是單調(diào)函數(shù)的必要條件是
( )
A.b>1B.b<-1C.b<0D.b>-1
【解析】選D.因為函數(shù)y=x2+bx+ c在[0,+∞)上單調(diào),所以x=- ≤0,即b≥0,
顯然b≥0⇒b>-1,故選D.
【舉一反三】函數(shù)y=x2+bx+c在[0,+∞)上是單調(diào)函數(shù)的充分條件是( )
A.b>1B.b<-1C.b<0D.b>-1
【解析】選A.當b>1時,y=x2+bx+c在[0,+∞)上顯然是單調(diào)函數(shù),故b>1是函數(shù)y=x2+bx+c在[0,+∞)上是單調(diào)函數(shù)的充分條件.
3.(2014•蘭州高二檢測)設集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y) |2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么點P(2,3)∈A∩( B)的既是充分條件,又是必要條件的是( )
A.m>-1,n<5B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5D.m<-1,n>5
【解析】選A.因為P∈A∩( B),
所以P∈A且P∉B,所以
所以 故選A.
4.(2014•天津高二檢測)設a,b為向量,則“a•b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分條件
B.必要條件
C.既是充分條件也是必要條件
D.既不是充分條件也不是必要條件
【解析】選A.若a,b中有零向量,則a•b=|a||b|⇒a∥b,若a,b中無零向量,則設a,b的夾角為θ,a•b=|a||b|⇒|a||b|cosθ=|a||b|⇒cosθ=1⇒θ=0⇒a∥b,故有a•b=|a||b|可以推出“a∥b”,但若a∥b,則有a•b=|a||b|或a•b=-|a||b|,
故“a•b=|a||b|”是“a∥b”的充分條件.
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.如果命題“若A ,則B”的否命題是真命題,而它的逆否命題是假命題,則A是B的 條件.
【解析】因為逆否命題為假,那么原命題為假,即A B,
又因否命題為真,所以逆命題為真,即B⇒A,
所以A是B的必要條件.
答案:必要
6.若向量a=(x,3),x∈R,則|a|=5的一個充分條件是 ____________.
【解析】因為|a|=5⇒x2+9=25⇒x=±4,
所以|a|=5的一個充分條 件是x=4(或x=-4).
答案:x=4(或x=-4)
三、解答題(每小題12分,共24分)
7.已知p:x 2-2x-3<0,若- a<x-1<a是p的一個必要條件但不是充分條件,求使a>b恒成立的實數(shù)b的取值范圍.
【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,
-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).
依題意,得{x|-1<x<3} {x|1-a<x<1+a}(a>0),
所以 解得a>2,
則使a>b恒成立的實數(shù)b的取值范圍是b≤2,
即(-∞,2].
8.已知命題p:m∈[-1,1],命題q:a2-5a-3- ≥0,若p是q的充分條件,求a的取值范圍.
【解析】因為p是q的充分條件,
所以當-1≤m≤1時,a2-5a-3≥ 恒成立,
又當-1≤m≤1時, ≤3,所以a2-5a-3≥3,
所以a2-5a-6≥0,所以a≥6或a≤-1.