2017高中數(shù)學常用導數(shù)公式
2017高中數(shù)學常用導數(shù)公式
導數(shù)是高中數(shù)學微積分中的重要基礎概念，需要高中生重點學習。下面學習啦小編給高中生帶來數(shù)學常用導數(shù)公式，希望對你有幫助。
高中數(shù)學常用導數(shù)公式
1.y=c(c為常數(shù)) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整個變量，而g'(x)中把x看作變量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y)，則有y'=1/x'
證：1.顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.這個的推導暫且不證，因為如果根據(jù)導數(shù)的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數(shù)的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果后能用復合函數(shù)的求導給予證明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0，是不能導出導函數(shù)的，必須設一個輔助的函數(shù)β=a^⊿x-1通過換元進行計算。由設的輔助函數(shù)可以知道：⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
顯然，當⊿x→0時，β也是趨向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把這個結果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，當a=e時有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因為當⊿x→0時，⊿x/x趨向于0而x/⊿x趨向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
可以知道，當a=e時有y=lnx y'=1/x。
這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.類似地，可以導出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在對雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復雜的復合函數(shù)求導時通過查閱導數(shù)表和運用開頭的公式與
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能較快捷地求得結果。
高中數(shù)學有關導數(shù)的知識點
一、早期導數(shù)概念----特殊的形式大約在1629年法國數(shù)學家費馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法1637年左右他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時他構造了差分f(A+E)-f(A),發(fā)現(xiàn)的因子E就是我們所說的導數(shù)f'(A)。
二、17世紀----廣泛使用的“流數(shù)術”17世紀生產(chǎn)力的發(fā)展推動了自然科學和技術的發(fā)展在前人創(chuàng)造性研究的基礎上大數(shù)學家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統(tǒng)地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術”他稱變量為流量稱變量的變化率為流數(shù)相當于我們所說的導數(shù)。牛頓的有關“流數(shù)術”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數(shù)術和無窮級數(shù)》流數(shù)理論的實質概括為他的重點在于一個變量的函數(shù)而不在于多變量的方程在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構成最在于決定這個比當變化趨于零時的極限。
三、19世紀導數(shù)----逐漸成熟的理論1750年達朗貝爾在為法國科學家院出版的《百科全書》第五版寫的“微分”條目中提出了關于導數(shù)的一種觀點可以用現(xiàn)代符號簡單表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在變量x的兩個給定的界限之間保持連續(xù)并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值那么是使變量得到一個無窮小增量。19世紀60年代以后魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε-δ語言對微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達導數(shù)的定義也就獲得了今天常見的形式。
四、實無限將異軍突起微積分第二輪初等化或成為可能 微積分學理論基礎大體可以分為兩個部分。一個是實無限理論即無限是一個具體的東西一種真實的存在另一種是潛無限指一種意識形態(tài)上的過程比如無限接近。就歷史來看兩種理論都有一定的道理。其中實無限用了150年后來極限論就是現(xiàn)在所使用的。光是電磁波還是粒子是一個物理學長期爭論的問題后來由波粒二象性來統(tǒng)一。微積分無論是用現(xiàn)代極限論還是150年前的理論都不是最好的手段。
高中數(shù)學學習方法
1、填空題后幾題可能涉及向量數(shù)量積(以三角形、平行四邊形、梯形、正六邊形和圓錐曲線為載體，數(shù)形結合求數(shù)量積和參數(shù))、基本不等式求最值及參數(shù)范圍、數(shù)列與圓錐曲線基本量的計算，運用抽象函數(shù)的性質求函數(shù)值與解不等式、三角形的計算與三角求值，命題的否定與必要不充分條件也是易錯點。
2、三角復習，應重視以圖形為載體運用三角變換求角的方法與注意點，已知三角形的中線、角平分線或高等如何解三角形。
3、立體幾何復習應關注符號語言表述的命題的真假判斷，共(異)面的判斷與證明、用性質定理尋找平行線與垂線的方法，運用三棱錐體積求點面距離。
4、解析幾何要圍繞主干知識——橢圓的方程和性質，運用圓心的軌跡、圓錐曲線的定義、性質、橢圓標準方程的變形、直線斜率、圓的性質和平面幾何知識推證橢圓的一些基本性質，會對圓錐曲線中的存在性、唯一性、不變性、恒成立等性質進行論證、運用。
5、數(shù)列復習應重視對差、等比數(shù)列的綜合運用。掌握證明一個數(shù)列不是等差(比)數(shù)列的方法，會用整數(shù)的基本性質和求不定方程整數(shù)解的方法求解數(shù)列的基本量，證明數(shù)列的一些基本性質(如無窮子數(shù)列項的整除性質和不等關系)。
6、應用題可從解三角形、概率、數(shù)列求和、函數(shù)、立幾等模型出發(fā)構建數(shù)學模型，概率應用題應注意解題規(guī)范。
7、關注高等數(shù)學知識與競賽試題在解題中的指導作用。
8、函數(shù)重點是論證函數(shù)的基本性質，難點是將函數(shù)與方程、不等式等知識結合，涉及求參數(shù)范圍、解不等式、證明不等式，重視分類討論在研究函數(shù)問題中的工具作用。
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