高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末模擬試題
高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末模擬試題
數(shù)學(xué)練習(xí)題是所有考生最大的需求點(diǎn)，只有這樣才能保證答題的準(zhǔn)確率和效率，以下是學(xué)習(xí)啦小編為您整理的關(guān)于高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末模擬試題的相關(guān)資料，供您閱讀。
高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末模擬試題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的.
1.如果a>b>0，那么下列不等式成立的是( )
A.a2>ab B.ab D. >
2.“∀x∈R，x2﹣2>0”的否定是( )
A.∀x∈R，x2﹣2<0 B.∀x∈R，x2﹣2≤0
C.∃x0∈R，x ﹣2<0 D.∃x0∈R，x ﹣2≤0
3.在等差數(shù)列{an}中，a5=5，a10=15，則a15=( )
A.20 B.25 C.45 D.75
4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，則b=( )
A. B. C. D.
5.函數(shù)y=lnx+x在點(diǎn)(1，1)處的切線方程是( )
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
6.“m>0”是“x2+x+m=0無(wú)實(shí)根”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
7.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖，則f(x)的極值點(diǎn)有( )
A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)
8.已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1+a5=17，a2a4=16，則公比q=( )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
9.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，﹣ )的雙曲線 ﹣ =1，其一條漸近線方程為y= x，該雙曲線的焦距為( )
A. B.2 C.2 D.4
10.若函數(shù)f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值，則9a+3b的最小值為( )
A.4 B.9 C.18 D.81
11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
12.設(shè)橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)，|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2)，∠F1PF2= ，則橢圓離心率的取值范圍為( )
A.(0， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ，1)
二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分.、共20分.
13.已知 =(2，3，1)， =(x，y，2)，若 ∥ ，則x+y= .
14.若變量x，y滿足約束條件 ，則z=x﹣2y的最小值為 .
15.已知在觀測(cè)點(diǎn)P處測(cè)得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行，經(jīng)過(guò)1小時(shí)后在觀測(cè)點(diǎn)P測(cè)得輪船位于北偏東60°方向B處，又經(jīng)過(guò)t小時(shí)發(fā)現(xiàn)該輪船在北偏東45°方向C處，則t= .
16.對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn= .
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.已知等差數(shù)列{an}，公差為2，的前n項(xiàng)和為Sn，且a1，S2，S4成等比數(shù)列，
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= (n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
18.△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)當(dāng)b=6，sinC=2sinA時(shí)，求△ABC的面積.
19.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，C上一點(diǎn)(3，m)到焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求C的方程;
(2)過(guò)F作直線l，交C于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1，求直線l的方程.
20.如圖，在多面體ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證：AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
21.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx在x=1處取得極值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對(duì)于任意的x∈(0，+∞)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
22.曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1，0)的距離和它到定直線x=3的距離之比是1： .
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F(1，0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABO面積為 時(shí)，求直線l的方程.
高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末模擬試題參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的.
1.如果a>b>0，那么下列不等式成立的是( )
A.a2>ab B.ab D. >
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.
【解答】解：∵a>b>0，
∴a2>ab，ab>b2， ，b2
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
2.“∀x∈R，x2﹣2>0”的否定是( )
A.∀x∈R，x2﹣2<0 B.∀x∈R，x2﹣2≤0
C.∃x0∈R，x ﹣2<0 D.∃x0∈R，x ﹣2≤0
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可.
【解答】解：命題是全稱命題，則命題的否定是特稱命題，
即∃x0∈R，x ﹣2≤0，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ).
3.在等差數(shù)列{an}中，a5=5，a10=15，則a15=( )
A.20 B.25 C.45 D.75
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列的第15項(xiàng).
【解答】解：∵在等差數(shù)列{an}中，a5=5，a10=15，
∴ ，
解得a1=﹣3，d=2，
∴a15=﹣3+14×2=25.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的第15項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，則b=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解.
【解答】解：∵a=3，A=45°，B=60°，
∴由正弦定理可得：b= = = .
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
5.函數(shù)y=lnx+x在點(diǎn)(1，1)處的切線方程是( )
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.
【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)= +1，
則f′(1)=1+1=2，
即切線斜率k=2，
則函數(shù)y=lnx+x在點(diǎn)(1，1)處的切線方程是y﹣1=2(x﹣1)，
即2x﹣y﹣1=0，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的切線的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵.
6.“m>0”是“x2+x+m=0無(wú)實(shí)根”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【分析】x2+x+m=0無(wú)實(shí)根⇔△<0，即可判斷出結(jié)論.
【解答】解：x2+x+m=0無(wú)實(shí)根⇔△=1﹣4m<0，⇔m .
∴“m>0”是“x2+x+m=0無(wú)實(shí)根”的必要不充分條件，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
7.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖，則f(x)的極值點(diǎn)有( )
A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)
【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于零，即導(dǎo)函數(shù)的圖象在x軸上方，說(shuō)明原函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增，否則為減函數(shù)，極大值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從左往右，符號(hào)相反，因此根據(jù)圖象即可求得極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
【解答】解：結(jié)合函數(shù)圖象，根據(jù)極值的定義可知在該點(diǎn)處從左向右導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，
從圖象上可看出符合條件的有3點(diǎn)，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，以及學(xué)生的識(shí)圖能力.屬于基礎(chǔ)題.
8.已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1+a5=17，a2a4=16，則公比q=( )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}是公比為q的遞增的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，求得a1=1，a5=16，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公比即可.
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}是公比為q的遞增的等比數(shù)列，
由a2a4=16，可得a1a5=16，
又a1+a5=17，解得 或 (不合題意，舍去)，
即有q4=16，解得q=2(負(fù)的舍去).
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.
9.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，﹣ )的雙曲線 ﹣ =1，其一條漸近線方程為y= x，該雙曲線的焦距為( )
A. B.2 C.2 D.4
【分析】將點(diǎn)(3，﹣ )代入雙曲線的方程，由漸近線方程可得 = ，解得a，b，可得c=2，進(jìn)而得到焦距2c=4.
【解答】解：點(diǎn)(3，﹣ )在雙曲線 ﹣ =1上，可得
﹣ =1，
又漸近線方程為y=± x，一條漸近線方程為y= x，
可得 = ，
解得a= ，b=1，
可得c= =2，
即有焦距為2c=4.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的焦距的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足雙曲線的方程和漸近線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
10.若函數(shù)f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值，則9a+3b的最小值為( )
A.4 B.9 C.18 D.81
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到2a+b=4，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出代數(shù)式的最小值即可.
【解答】解：f′(x)=4x3﹣2ax﹣b，
若f(x)在x=1處有極值，
則f′(x)=4﹣2a﹣b=0，
∴2a+b=4，
∴9a+3b=32a+3b≥2 =18，
當(dāng)且僅當(dāng)9a=3b時(shí)“=”成立，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題.
11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值.
【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為1，
則D(0，0，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，
=(0，1，1)， =(1，0，1)， =(1，1，0)，
設(shè)平面A1BD的法向量 =(x，y，z)，
則 ，取x=1，得 =(1，﹣1，﹣1)，
設(shè)直線DC1與平面A1BD所成角為θ，
則sinθ= = = ，
∴cosθ= = .
∴直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值為 .
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.
12.設(shè)橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)，|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2)，∠F1PF2= ，則橢圓離心率的取值范圍為( )
A.(0， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ，1)
【分析】設(shè)F1(﹣c，0)，F(xiàn)2(c，0)，運(yùn)用橢圓的定義和勾股定理，求得e2= ，令m=λ+1，可得λ=m﹣1，即有 = =2( ﹣ )2+ ，運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，解不等式可得所求范圍.
【解答】解：設(shè)F1(﹣c，0)，F(xiàn)2(c，0)，由橢圓的定義可得，|PF1|+|PF2|=2a，
可設(shè)|PF2|=t，可得|PF1|=λt，
即有(λ+1)t=2a①
由∠F1PF2= ，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，
即為(λ2+1)t2=4c2，②
由②÷①2，可得e2= ，
令m=λ+1，可得λ=m﹣1，
即有 = =2( ﹣ )2+ ，
由 ≤λ≤2，可得 ≤m≤3，即 ≤ ≤ ，
則m=2時(shí)，取得最小值 ;m= 或3時(shí)，取得最大值 .
即有 ≤e2≤ ，解得 ≤e≤ .
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的范圍，同時(shí)考查不等式的解法，屬于中檔題.
二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分.、共20分.
13.已知 =(2，3，1)， =(x，y，2)，若 ∥ ，則x+y= 10 .
【分析】根據(jù)向量的共線定理，列出方程組求出x、y的值，再計(jì)算x+y的值.
【解答】解：∵ =(2，3，1)， =(x，y，2)，且 ∥ ，
∴ = = ，
解得x=4，y=6;
∴x+y=10.
故答案為：10.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.
14.若變量x，y滿足約束條件 ，則z=x﹣2y的最小值為 ﹣2 .
【分析】作出可行域，變形目標(biāo)函數(shù)，平移直線y= x可得結(jié)論.
【解答】解：作出約束條件 所對(duì)應(yīng)的可行域(如圖△ABC)，
變形目標(biāo)函數(shù)可得y= x﹣ z，平移直線y= x可知，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A( ， )時(shí)，直線的截距最大，z取最小值﹣2，
故答案為：﹣2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題.
15.已知在觀測(cè)點(diǎn)P處測(cè)得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行，經(jīng)過(guò)1小時(shí)后在觀測(cè)點(diǎn)P測(cè)得輪船位于北偏東60°方向B處，又經(jīng)過(guò)t小時(shí)發(fā)現(xiàn)該輪船在北偏東45°方向C處，則t= .
【分析】設(shè)輪船的速度為v，求出BC，即可得出結(jié)論.
【解答】解：設(shè)輪船的速度為v，則AB=v，PA=AC= v，
∴BC=( ﹣1)v，
∴t= = .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.
16.對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn= 2n+2﹣4 .
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程為y=﹣2n(x﹣2)，從而得到an=2n+1，利用等比數(shù)列的求和公式能求出Sn.
【解答】解：∵y=xn(2﹣x)，∴y'=2nxn﹣1﹣(n+1)xn，
∴曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n﹣(n+1)2n=﹣2n，
切點(diǎn)為(2，0)，
∴切線方程為y=﹣2n(x﹣2)，
令x=0得an=2n+1，
∴Sn= =2n+2﹣4，
故答案為：2n+2﹣4.
【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力，以及利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行數(shù)列求和的能力.
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.已知等差數(shù)列{an}，公差為2，的前n項(xiàng)和為Sn，且a1，S2，S4成等比數(shù)列，
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= (n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
【分析】(1))由a1，S2，S4成等比數(shù)列得 .化簡(jiǎn)解得a1，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)利用“裂項(xiàng)求和”即可得出.
【解答】解：(1))由a1，S2，S4成等比數(shù)列得 .
化簡(jiǎn)得 ，又d=2，解得a1=1，
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 …
(2)∵ ∴由(1)得 ，
∴ = ….
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
18.△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)當(dāng)b=6，sinC=2sinA時(shí)，求△ABC的面積.
【分析】(1)由余弦定理變形已知式子可得cosB的值，可得B值;
(2)由題意和正弦定理可得c=2a，代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值，可得三角形為直角三角形，由面積公式可得.
【解答】解：(1)∵(a+c)2﹣b2=3ac，∴b2=a2﹣ac+c2，
∴ac=a2+c2﹣b2，∴
∵B∈(0，π)，∴ ;
(2)∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，
代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2，
解得 ， ，滿足a2+b2=c2，
∴△ABC為直角三角形，
∴△ABC的面積S= ×2 ×6=6 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題.
19.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，C上一點(diǎn)(3，m)到焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求C的方程;
(2)過(guò)F作直線l，交C于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1，求直線l的方程.
【分析】(1)利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程;
(2)利用點(diǎn)差法求出直線l的斜率，即可求直線l的方程.
【解答】解：(1)拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為 ，
由拋物線的定義可知
解得p=4
∴C的方程為y2=8x.
(2)由(1)得拋物線C的方程為y2=8x，焦點(diǎn)F(2，0)
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則
兩式相減.整理得
∵線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1
∴直線l的斜率
直線l的方程為y﹣0=﹣4(x﹣2)即4x+y﹣8=0
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義與方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.
20.如圖，在多面體ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證：AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【分析】(1)推導(dǎo)出AF⊥BC，從而AF⊥DC，進(jìn)而AF⊥面BCD，由此能證明AF⊥BD.
(2)以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【解答】證明：(1)∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF⊂底面ABC，
∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC⊂面BCD，
∴AF⊥面BCD，又BD⊂面BCD，∴AF⊥BD.…
解：(2)以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
∴B(2，0，0)，D(0，2，2)，E(0，0，1)，
， ，
設(shè)面BED的一個(gè)法向量為 ，
則 ，令z=2得x=1，y=﹣1，∴ ，
又面ABE的一個(gè)法向量為 ，
∴ ，
∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是銳角，
∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值為 .…
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.
21.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx在x=1處取得極值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對(duì)于任意的x∈(0，+∞)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【分析】(Ⅰ)根據(jù)極值的定義得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)問(wèn)題等價(jià)于m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0，+∞)成立，設(shè)h(x)=xex﹣x2﹣2x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可.
【解答】解：(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=ax3+bx在x=1處取得極值2，
∴ ，解得 ，
∴f(x)=﹣x3+3x…
(Ⅱ)∵(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對(duì)于任意的x∈(0，+∞)成立，
∴(m+3)x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x
⇔m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0，+∞)成立
設(shè)h(x)=xex﹣x2﹣2x，
則h′(x)=ex+xex﹣2x﹣2=(x+1)(ex﹣2)，
令h′(x)=0解得x=ln2，
且當(dāng)0
當(dāng)x>ln2時(shí)，h′(x)>0，
∴h(x)=xex﹣x2﹣2x在(0，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，+∞)上單調(diào)遞增，
∴ ，
∴m≤﹣(ln2)2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題.
22.曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1，0)的距離和它到定直線x=3的距離之比是1： .
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F(1，0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABO面積為 時(shí)，求直線l的方程.
【分析】(Ⅰ)設(shè)M(x，y)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求方程;
(Ⅱ)當(dāng)l斜率不存在時(shí)，l方程為x=1，求得A，B的坐標(biāo)，以及△ABO的面積;由直線l斜率存在，設(shè)l方程為y=k(x﹣1)，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，解方程可得斜率k，進(jìn)而得到所求直線的方程.
【解答】解：(Ⅰ)設(shè)M(x，y)
由題意可得， ，
整理得 ，
則曲線C的方程為 ;
(Ⅱ)當(dāng)l斜率不存在時(shí)，l方程為x=1，
此時(shí)l與C的交點(diǎn)分別為 ， ，
即有 ，
則 ，
由直線l斜率存在，設(shè)l方程為y=k(x﹣1)，
由 ，
得 ， ，
∴ .
設(shè)O到l的距離為d，則 ，
∴ ，
解得k=±1.
綜上所述，當(dāng)△ABO面積為 時(shí)，l的方程為y=x﹣1或y=﹣x+1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.
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