高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)結(jié)構(gòu)總結(jié)

時(shí)間：2019-12-06 16:46:24 鞏詩(shī)621233由分享

　　今天小編給大家?guī)?lái)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)，去其糟粕，取其精華，為各位學(xué)子帶來(lái)一針見(jiàn)血的復(fù)習(xí)大綱，希望能為大家節(jié)省時(shí)間做到每一分鐘都沒(méi)有浪費(fèi)。然后有更多的時(shí)間復(fù)習(xí)，努力吧，同學(xué)們!

　　一、集合與簡(jiǎn)易邏輯

　　1.集合的元素具有確定性、無(wú)序性和互異性.

　　2.對(duì)集合，時(shí)，必須注意到“極端”情況：或 ;求集合的子集時(shí)是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.

　　3.對(duì)于含有個(gè)元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為

　　4.“交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并，即 ”;“并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交，即 ”.

　　5.判斷命題的真假關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”;注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.

　　6.“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”;“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”;“非命題”的真假特點(diǎn)是“一真一假”.

　　7.四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”.

　　原命題等價(jià)于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià).反證法分為三步：假設(shè)、推矛、得果.

　　注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結(jié)論’所得命題”，但否命題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論的所得命題” .

　　8.充要條件

　　二、函數(shù)

　　1.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，

　　2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”;映射中第一個(gè)集合中的元素必有像，但第二個(gè)集合中的元素不一定有原像( 中元素的像有且僅有下一個(gè)，但中元素的原像可能沒(méi)有，也可任意個(gè));函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”.

　　(2)函數(shù)圖像與軸垂線至多一個(gè)公共點(diǎn)，但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒(méi)有，也可任意個(gè).

　　(3)函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像.

　　3.單調(diào)性和奇偶性

　　(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同.

　　偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

　　注意：(1)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.對(duì)于偶函數(shù)而言有： .

　　(2)若奇函數(shù)定義域中有0，則必有 .即的定義域時(shí)，是為奇函數(shù)的必要非充分條件.

　　(3)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法(取值、作差、鑒定)、導(dǎo)數(shù)法;在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等.

　　(4)既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)( ，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集).

　　(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同性得增，增必同性;異性得減，減必異性”.

　　復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化。(即復(fù)合有意義)

　　4.對(duì)稱性與周期性(以下結(jié)論要消化吸收，不可強(qiáng)記)

　　(1)函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 ( 軸)對(duì)稱.

　　推廣一：如果函數(shù) 對(duì)于一切，都有成立，那么的圖像關(guān)于直線 (由“ 和的一半確定”)對(duì)稱.

　　推廣二：函數(shù) ，的圖像關(guān)于直線 (由確定)對(duì)稱.

　　(2)函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 ( 軸)對(duì)稱.

　　(3)函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱.

　　推廣：曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線是 ;

　　曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線是 .

　　(5)類(lèi)比“三角函數(shù)圖像”得：若圖像有兩條對(duì)稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為 .

　　如果是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為，那么 .

　　特別：若恒成立，則 .若恒成立，則 .若恒成立，則 .

　　三、數(shù) 列

　　1.數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前項(xiàng)和公式的關(guān)系： (必要時(shí)請(qǐng)分類(lèi)討論).

　　注意： ; .

　　2.等差數(shù)列中：

　　(1)等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.

　　(2) ; .

　　(3) 、也成等差數(shù)列.

　　(4)兩等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.

　　(5) 仍成等差數(shù)列.

　　(8)“首正”的遞等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和;

　　“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和;

　　(9)有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”-“奇數(shù)項(xiàng)和”=總項(xiàng)數(shù)的一半與其公差的積;若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”-“偶數(shù)項(xiàng)和”=此數(shù)列的中項(xiàng).

　　(10)兩數(shù)的等差中項(xiàng)惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，?？紤]選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

　　(11)判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法、圖像法(也就是說(shuō)數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式).

　　3.等比數(shù)列中：

　　(1)等比數(shù)列的符號(hào)特征(全正或全負(fù)或一正一負(fù))，等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性.

　　(3) 、、成等比數(shù)列; 成等比數(shù)列成等比數(shù)列.

　　(4)兩等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.

　　(8)“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前項(xiàng)積的最大值是所有大于或等于1的項(xiàng)的積;“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前項(xiàng)積的最小值是所有小于或等于1的項(xiàng)的積;

　　(9)有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”=“奇數(shù)項(xiàng)和”與“公比”的積;若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”=“首項(xiàng)”加上“公比”與“偶數(shù)項(xiàng)和”積的和.

　　(10)并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng).僅當(dāng)實(shí)數(shù) 同號(hào)時(shí)，實(shí)數(shù) 存在等比中項(xiàng).對(duì)同號(hào)兩實(shí)數(shù) 的等比中項(xiàng)不僅存在，而且有一對(duì) .也就是說(shuō)，兩實(shí)數(shù)要么沒(méi)有等比中項(xiàng)(非同號(hào)時(shí))，如果有，必有一對(duì)(同號(hào)時(shí)).在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，常優(yōu)先考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

　　(11)判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法(也就是說(shuō)數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式).

　　4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

　　(1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列 ( 總有意義)必成等比數(shù)列.

　　(2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，那么數(shù)列必成等差數(shù)列.

　　(3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列;但數(shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

　　(4)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

　　如果一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進(jìn)行研討，且以其等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中那些項(xiàng)是他們的公共項(xiàng)，并構(gòu)成新的數(shù)列.

　　注意：(1)公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究 .但也有少數(shù)問(wèn)題中研究，這時(shí)既要求項(xiàng)相同，也要求項(xiàng)數(shù)相同.(2)三(四)個(gè)數(shù)成等差(比)的中項(xiàng)轉(zhuǎn)化和通項(xiàng)轉(zhuǎn)化法.

　　5.數(shù)列求和的常用方法：

　　(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式(三種形式)，

　?、诘缺葦?shù)列求和公式(三種形式)，

　　(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類(lèi)項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

　　(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法).

　　(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的的等比數(shù)列的和”求解(注意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一的差”!)(這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法之一).

　　(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

　　特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)分類(lèi)討論.

　　(6)通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。

　　四、三角函數(shù)

　　1. 終邊與終邊相同( 的終邊在終邊所在射線上) .

　　終邊與終邊共線( 的終邊在終邊所在直線上) .

　　終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱 .

　　終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 .

　　一般地：終邊與終邊關(guān)于角的終邊對(duì)稱 .

　　與的終邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定.

　　2.弧長(zhǎng)公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad) .

　　3.三角函數(shù)符號(hào)特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

　　注意：，

　　4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在軸上(起點(diǎn)在軸上)”、余弦線“躺在軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線“站在點(diǎn) 處(起點(diǎn)是 )”.務(wù)必重視“三角函數(shù)值的大小與單位圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，‘正弦’ ‘縱坐標(biāo)’、‘余弦’ ‘橫坐標(biāo)’、‘正切’ ‘縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商’”;務(wù)必記?。?jiǎn)挝粓A中角終邊的變化與值的大小變化的關(guān)系. 為銳角 .

　　5.三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運(yùn)用中，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定角的范圍，并進(jìn)行定號(hào)”;

　　6.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

　　7.三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)(常值)的變換，其核心是“角的變換”!

　　角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.

　　常值變換主要指“1”的變換：

　　等.

　　三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化(切割化弦)、三角函數(shù)次數(shù)的降升(降次、升次)、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(和式與積式的互化).解題時(shí)本著“三看”的基本原則來(lái)進(jìn)行:“看角、看函數(shù)、看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次.

　　注意：和(差)角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號(hào)特征;余弦倍角公式的三種形式選用;降次(升次)公式中的符號(hào)特征.“正余弦‘三兄妹— ’的聯(lián)系”(常和三角換元法聯(lián)系在一起 ).

　　輔助角公式中輔助角的確定： (其中角所在的象限由a, b的符號(hào)確定，角的值由確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.尤其是兩者系數(shù)絕對(duì)值之比為的情形. 有實(shí)數(shù)解 .

　　8.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：

　　(1)三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性

　　(2)三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：

　　(3)三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換.

　　(4)三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點(diǎn)法(五點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列)和變換法.

　　9.三角形中的三角函數(shù)：

　　(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

　　(2)正弦定理： (R為三角形外接圓的半徑).

　　注意：已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.

　　(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的類(lèi)型.

　　(4)面積公式： .

　　五、向量

　　1.向量運(yùn)算的幾何形式和坐標(biāo)形式，請(qǐng)注意：向量運(yùn)算中向量起點(diǎn)、終點(diǎn)及其坐標(biāo)的特征.

　　2.幾個(gè)概念：零向量、單位向量(與共線的單位向量是，特別： )、平行(共線)向量(無(wú)傳遞性，是因?yàn)橛?)、相等向量(有傳遞性)、相反向量、向量垂直、以及一個(gè)向量在另一向量方向上的投影( 在上的投影是 ).

　　3.兩非零向量平行(共線)的充要條件

　　兩個(gè)非零向量垂直的充要條件

　　特別：零向量和任何向量共線. 是向量平行的充分不必要條件!

　　4.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、，使a= e1+ e2.

　　5.三點(diǎn) 共線共線;

　　向量中三終點(diǎn) 共線存在實(shí)數(shù) 使得：且 .

　　6.向量的數(shù)量積：，，

　　，

　　注意：為銳角且不同向;

　　為直角且 ;

　　為鈍角且不反向;

　　是為鈍角的必要非充分條件.

　　向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，這是題目中的天然條件，要注意運(yùn)用;對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量;向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，切記兩向量不能相除(相約).

　　注意：同向或有 ;

　　反向或有 ;

　　不共線 .(這些和實(shí)數(shù)集中類(lèi)似)

　　8.中點(diǎn)坐標(biāo)公式，為的中點(diǎn).

　　中，過(guò) 邊中點(diǎn); ;

　　. 為的重心;

　　特別為的重心.

　　為的垂心;

　　所在直線過(guò) 的內(nèi)心(是的角平分線所在直線);

　　的內(nèi)心.

　　六、不等式

　　1.(1)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示;不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值.

　　(2)解分式不等式的一般解題思路是什么?(移項(xiàng)通分，分子分母分解因式，x的系數(shù)變?yōu)檎?，?biāo)根及奇穿過(guò)偶彈回);

　　(3)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去絕對(duì)值?(一般是根據(jù)定義分類(lèi)討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化);

　　(4)解含參不等式常分類(lèi)等價(jià)轉(zhuǎn)化，必要時(shí)需分類(lèi)討論.注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.

　　2.利用重要不等式以及變式等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a，b (或a ，b非負(fù))，且“等號(hào)成立”時(shí)的條件是積ab或和a+b其中之一應(yīng)是定值(一正二定三等四同時(shí)).

　　3.常用不等式有： (根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)

　　a、b、c R， (當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取等號(hào))

　　4.比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析法

　　5.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：

　　同號(hào)或有 ;

　　異號(hào)或有 .

　　注意：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式?(常應(yīng)用方程函數(shù)思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題).

　　6.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問(wèn)題

　　(1).恒成立問(wèn)題

　　若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上

　　(2).能成立問(wèn)題

　　若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù) 使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價(jià)于在區(qū)間上

　　若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù) 使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價(jià)于在區(qū)間上的 .

　　(3).恰成立問(wèn)題

　　若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式的解集為 .

　　若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式的解集為 ,

　　七、直線和圓

　　1.直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍;直線方向向量的意義( 或 )及其直線方程的向量式( ( 為直線的方向向量)).應(yīng)用直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式設(shè)直線方程時(shí)，一般可設(shè)直線的斜率為k，但你是否注意到直線垂直于x軸時(shí)，即斜率k不存在的情況?

　　2.知直線縱截距，常設(shè)其方程為或 ;知直線橫截距，常設(shè)其方程為 (直線斜率k存在時(shí)，為k的倒數(shù))或 .知直線過(guò)點(diǎn) ，常設(shè)其方程為或 .

　　注意：(1)直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截矩式、一般式、向量式.以及各種形式的局限性.(如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截矩式呢?)

　　與直線平行的直線可表示為 ;

　　與直線垂直的直線可表示為 ;

　　過(guò)點(diǎn) 與直線平行的直線可表示為：

　　;

　　過(guò)點(diǎn) 與直線垂直的直線可表示為：

　　(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過(guò)原點(diǎn);直線兩截距互為相反數(shù) 直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn);直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn).

　　(3)在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合.

　　3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個(gè)不同的概念：夾角特指相交兩直線所成的較小角，范圍是，而其到角是帶有方向的角，范圍是 .

　　注：點(diǎn)到直線的距離公式

　　特別： ;

　　;

　　4.線性規(guī)劃中幾個(gè)概念：約束條件、可行解、可行域、目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解.

　　5.圓的方程：最簡(jiǎn)方程 ;標(biāo)準(zhǔn)方程 ;

　　一般式方程 ;

　　參數(shù)方程為參數(shù));

　　直徑式方程 .

　　注意：

　　(1)在圓的一般式方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是 .

　　(2)圓的參數(shù)方程為“三角換元”提供了樣板，常用三角換元有：

　　，，

　　，

　　6.解決直線與圓的關(guān)系問(wèn)題有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解，重要的是發(fā)揮“圓的平面幾何性質(zhì)(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等)的作用!”

　　(1)過(guò)圓上一點(diǎn) 圓的切線方程是：，

　　過(guò)圓上一點(diǎn) 圓的切線方程是：，

　　過(guò)圓上一點(diǎn) 圓的切線方程是： .

　　如果點(diǎn) 在圓外，那么上述直線方程表示過(guò)點(diǎn) 兩切線上兩切點(diǎn)的“切點(diǎn)弦”方程.

　　如果點(diǎn) 在圓內(nèi)，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于 ( 為圓心)的直線方程， ( 為圓心到直線的距離).

　　7.曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo) 方程組的解;

　　過(guò)兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為，當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)平方項(xiàng)時(shí)，為兩圓公共弦所在直線方程.

　　八、圓錐曲線

　　1.圓錐曲線的兩個(gè)定義，及其“括號(hào)”內(nèi)的限制條件，在圓錐曲線問(wèn)題中，如果涉及到其兩焦點(diǎn)(兩相異定點(diǎn))，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義;如果涉及到其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(一定點(diǎn)和不過(guò)該點(diǎn)的一定直線)或離心率，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義;涉及到焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

　　(1)注意：①圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運(yùn)用;

　?、趫A錐曲線第二定義是：“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，橢圓點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是小于1的正數(shù)，雙曲線點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是大于1的正數(shù)，拋物線點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是等于1.③圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：

　　2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對(duì)稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點(diǎn)線、圓錐曲線的變化趨勢(shì).其中，橢圓中、雙曲線中 .

　　重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其‘頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等相互之間與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的幾何性質(zhì)’”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點(diǎn)弦最值的特點(diǎn).

　　注意：等軸雙曲線的意義和性質(zhì).

　　3.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解.特別是：

　?、僦本€與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時(shí)，務(wù)必“判別式≥0”，尤其是在應(yīng)用韋達(dá)定理解決問(wèn)題時(shí)，必須先有“判別式≥0”.

　?、谥本€與拋物線(相交不一定交于兩點(diǎn))、雙曲線位置關(guān)系(相交的四種情況)的特殊性，應(yīng)謹(jǐn)慎處理.

　?、墼谥本€與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題中，常與“弦”相關(guān)，“平行弦”問(wèn)題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦”問(wèn)題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長(zhǎng)度(弦長(zhǎng))”問(wèn)題關(guān)鍵是長(zhǎng)度(弦長(zhǎng))公式

　　( ， , )或“小小直角三角形”.

　?、苋绻谝粭l直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化.

　　4.要重視常見(jiàn)的尋求曲線方程的方法(待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等), 以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)(定義法、幾何法、代數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等)，這是解析幾何的兩類(lèi)基本問(wèn)題，也是解析幾何的基本出發(fā)點(diǎn).

　　注意：①如果問(wèn)題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化.

　　②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時(shí)應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響.

　　③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題、“分類(lèi)討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.

　　九、直線、平面、簡(jiǎn)單多面體

　　1.計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移(補(bǔ)形)轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角計(jì)算

　　2.計(jì)算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線找射影，或向量法(直線上向量與平面法向量夾角的余角)，三余弦公式(最小角定理， )，或先運(yùn)用等積法求點(diǎn)到直線的距離，后虛擬直角三角形求解.注：一斜線與平面上以斜足為頂點(diǎn)的角的兩邊所成角相等斜線在平面上射影為角的平分線.

　　3.空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進(jìn)行，請(qǐng)重視線面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系(三垂線定理及其逆定理)的橋梁作用.注意：書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程需規(guī)范.

　　特別聲明：

　?、僮C明計(jì)算過(guò)程中，若有“中點(diǎn)”等特殊點(diǎn)線，則常借助于“中位線、重心”等知識(shí)轉(zhuǎn)化.

　?、谠谧C明計(jì)算過(guò)程中常將運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化 (構(gòu)造) 為特殊幾何體(如三棱錐、正方體、長(zhǎng)方體、三棱柱、四棱柱等)中問(wèn)題，并獲得去解決.

　?、廴绻鶕?jù)已知條件，在幾何體中有“三條直線兩兩垂直”，那么往往以此為基礎(chǔ)，建立空間直角坐標(biāo)系，并運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題.

　　4.直棱柱、正棱柱、平行六面體、長(zhǎng)方體、正方體、正四面體、棱錐、正棱錐關(guān)于側(cè)棱、側(cè)面、對(duì)角面、平行于底的截面的幾何體性質(zhì).

　　如長(zhǎng)方體中：對(duì)角線長(zhǎng) ，棱長(zhǎng)總和為，全(表)面積為，(結(jié)合可得關(guān)于他們的等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式還可建立關(guān)于他們的不等關(guān)系式)， ;

　　如三棱錐中：側(cè)棱長(zhǎng)相等(側(cè)棱與底面所成角相等) 頂點(diǎn)在底上射影為底面外心，側(cè)棱兩兩垂直(兩對(duì)對(duì)棱垂直) 頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心，斜高長(zhǎng)相等(側(cè)面與底面所成相等)且頂點(diǎn)在底上在底面內(nèi) 頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心.

　　如正四面體和正方體中：

　　5.求幾何體體積的常規(guī)方法是：公式法、割補(bǔ)法、等積(轉(zhuǎn)換)法、比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等.注意：補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體分割：三棱柱中三棱錐、四三棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是 .

　　6.多面體是由若干個(gè)多邊形圍成的幾何體.棱柱和棱錐是特殊的多面體.

　　正多面體的每個(gè)面都是相同邊數(shù)的正多邊形，以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱，這樣的多面體只有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.

　　9.球體積公式，球表面積公式，是兩個(gè)關(guān)于球的幾何度量公式.它們都是球半徑及的函數(shù).

　　十、導(dǎo) 數(shù)

　　1.導(dǎo)數(shù)的意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率(幾何意義)、瞬時(shí)速度、邊際成本(成本為因變量、產(chǎn)量為自變量的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)). ， (C為常數(shù))，， .

　　2.多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性：

　　在一個(gè)區(qū)間上 (個(gè)別點(diǎn)取等號(hào)) 在此區(qū)間上為增函數(shù).

　　在一個(gè)區(qū)間上 (個(gè)別點(diǎn)取等號(hào)) 在此區(qū)間上為減函數(shù).

　　3.導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值：

　　(1)函數(shù) 在處有且“左正右負(fù)” 在處取極大值;

　　函數(shù) 在處有且“左負(fù)右正” 在處取極小值.

　　注意：①在處有是函數(shù) 在處取極值的必要非充分條件.

　　②求函數(shù)極值的方法：先找定義域，再求導(dǎo)，找出定義域的分界點(diǎn)，列表求出極值.特別是給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮驗(yàn)“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒(méi)有用完，這一點(diǎn)一定要切記.

　?、蹎握{(diào)性與最值(極值)的研究要注意列表!

　　(2)函數(shù) 在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點(diǎn)值中的“最大值”;

　　函數(shù) 在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點(diǎn)值中的“最小值”;

　　注意：利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟：先找定義域再求出導(dǎo)數(shù)為0及導(dǎo)數(shù)不存在的的點(diǎn)，然后比較定義域的端點(diǎn)值和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，其中最大的就是最大值，最小就為最小

高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)結(jié)構(gòu)總結(jié)

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