行列式的定義是什么

行列式的定義是什么

　　行列式在數(shù)學中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。行列式的定義是什么?以下是學習啦小編為大家整理的關(guān)于行列式的定義，歡迎大家前來閱讀!

　　行列式的定義

　　一個矩陣A的行列式有一個乍看之下很奇怪的定義：

　　其中 s g n(σ)是排列σ的符號差。

　　對于比較小的矩陣，比如說二階和三階的矩陣，行列式表達如下，有些像是主對角線(左上至右下)元素的乘積減去副對角線(右上至左下)元素的乘積(見圖中紅線和藍線)。

　　2階： 3階：。 但對于階數(shù)較大的矩陣，行列式有 n!項，并不是這樣的形式。

　　二維向量組的行列式

　　行列式是向量形成的平行四邊形的面積

　　設(shè) P是一個二維的有向歐幾里得空間，即一個所謂的歐幾里得平面。兩個向量 X和 X’的行列式是：

　　經(jīng)計算可知，行列式表示的是向量 X和 X ’形成的平行四邊形的 有向面積。并有如下性質(zhì)：

　　行列式為零當且僅當兩個向量共線(線性相關(guān))，這時平行四邊形退化成一條直線。 如果以逆時針方向為正向的話，有向面積的意義是：平行四邊形面積為正當且僅當向量 X和 X’逆時針排列(如圖)。 行列式是一個雙線性映射。

　　三維向量組的行列式

　　設(shè) E是一個三維的有向歐幾里得空間。三個三維向量的行列式是：

　　這時的行列式表示 X、 X’和 X’’三個向量形成的平行六面體的 有向體積，也叫做這三個向量的混合積。同樣的，可以觀察到如下性質(zhì)：

　　行列式為零當且僅當三個向量共線或者共面(三者線性相關(guān))，這時平行六面體退化為平面圖形，體積為零。 這時行列式是一個 “三線性映射”，也就是說，對第一個向量有 ，對第二、第三個向量也是如此。

　　基底選擇

　　在以上的行列式中，我們不加選擇地將向量在所謂的正交基下分解，實際上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。這并不是說平行六面體的體積不唯一。恰恰相反，基底變換可以看作線性映射對基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底變換對“體積”的影響?？梢宰C明，對于所有同定向的標準正交基底，向量組的行列式的值是一樣的。也就是說，如果我們選擇的基底都是“單位長度”，并且兩兩正交，那么在這樣的基底之下，平行六面體的體積是唯一的。

　　線性變換

　　經(jīng)線性映射后的正方體

　　設(shè) E是一個一般的 n維的有向歐幾里得空間。一個線性變換把一個向量線性地變?yōu)榱硪粋€向量。比如說，在三維空間中，向量 (x,y,z)被射到向量 (x’,y’,z’)：

　　其中 a、 b、 c等是系數(shù)。如右圖，正方體(可以看作原來的一組基形成的)經(jīng)線性變換后可以變成一個普通的平行六面體，或變成一個平行四邊形(沒有體積)。這兩種情況表示了兩種不同的線性變換，行列式可以將其很好地分辨出來(為零或不為零)。

　　更詳細地說，行列式表示的是線性變換前后平行六面體的體積的變化系數(shù)。如果設(shè)左邊的正方體體積是一，那么中間的平行六面體的(有向)體積就是線性變換的行列式的值，右邊的平行四邊形體積為零，因為線性變換的行列式為零。這里我們混淆了線性變換的行列式和向量組的行列式，但兩者是一樣的，因為我們在對一組基作變換。

　　嚴格的定義

　　由二維及三維的例子，我們可以看到一般的行列式應該具有怎樣的性質(zhì)。為了描述一個 n 維空間中的“平行多面體”的“體積”，行列式首先需要是 線性的，這可以由面積的性質(zhì)得到。這里的線性是對于每一個向量來說的，因為當一個向量變?yōu)樵瓉淼?a倍時，“平行多面體”的“體積”也變?yōu)樵瓉淼?a倍。其次，當一個向量在其它向量組成的“超平面”上時，“平行多面體”的“體積”是零(可以想象三維空間的例子)。也就是說，當向量 線性相關(guān)時，行列式為零。于是可以得出行列式的定義：

　　向量組的行列式

　　行列式是 E到 K上的交替多線性形式。

　　具體來說，設(shè) E是一個內(nèi)積空間，一個從 E到 K上的交替多線性形式是指函數(shù)：

　　(多線性) 或者說，當 a i= a j的時候 (交替性) 所有 E到 K上的交替多線性形式的集合記作 An(E)。

　　定理： An(E)的維度是1，也就是說，設(shè)是 E的一組基，那么，所有的交替多線性形式都可以寫成

　　其中是在基 B下的展開。 定理的證明是對任一個多線性形式，考慮將 D依照多線性性質(zhì)展開，

　　這時，由交替性，當且僅當 是的一個排列，所以有

　　這里， 。

　　向量組的行列式設(shè)是 E的一組基， 基B的行列式就是唯一的(由定理可知)交替多線性形式使得：

　　det B( e1,..., e n) = 1 于是向量組 的行列式就是

　　其中是在基 B下的展開。 這個公式有時被稱作萊布尼茲公式。

　　基變更公式設(shè) B與 B’是向量空間中的兩組基，則將上式中的 detB改為 detB’就得到向量組在兩組基下的行列式之間的關(guān)系：

　　矩陣的行列式

　　設(shè) M n( K)為所有定義在 K上的矩陣的集合。將矩陣 A的元素為 A=(aij)。將矩陣 M的 n 行寫成， aj可以看作是上的向量。于是可以定義 矩陣A的行列式為向量組的行列式，這里的向量都在的正交基上展開，因此矩陣的行列式不依賴于基的選擇。

　　這樣定義的矩陣 A的行列式與向量組的行列式有同樣的性質(zhì)。單位矩陣的行列式為1，若矩陣的兩行線性相關(guān)，則行列式為零。

　　由萊布尼茲公式，可以證明矩陣行列式的一個重要性質(zhì)：一個矩陣的行列式等于它的轉(zhuǎn)置矩陣的行列式。

　　也就是說矩陣的行列式既可以看作 n 個行向量的行列式，也可以看作 n 個列向量的行列式。

　　證明：矩陣 A的轉(zhuǎn)置矩陣的行列式是：

　　令 j= σ( i)，由于每個排列都是雙射，所以上式變成：

　　令τ = σ ，當 σ 取遍所有排列時，τ 也取遍所有排列，而且 σ 的符號差等于 τ 的符號差。所以

　　線性映射的行列式設(shè) f是 n維線性空間 E到自身的線性變換(線性自同態(tài))， f在 E的任意一組基下的變換矩陣的行列式都是相等的。設(shè) B是 E的一組基。那么 f的行列式就是 f在 B下的變換矩陣的行列式：

　　之前對正方體做變換時， x1, ..., xn是原來的基，，因此可以混淆向量組的行列式和線性變換的行列式。

　　考慮映射 d f, B使得 x1, ..., xn被映射到

　　d f, B是一個交替n線性形式，因此由前面證的定理， d f, B和 d e t B只相差一個系數(shù)。

　　令 x1, ..., xn等于 B，則得到

　　λ = d f, B( B) 所以有

　　也就是說

　　對于另外一組基 B'，運用基變更公式，可以得到 du, B(B)等于 du, B ' (B ' )。于是 d f, B( B) 是一個不依賴于基，只依賴于 f的數(shù)。這正是 det f的定義。

　　特別地，行列式為 1 的線性變換保持向量組的行列式，它們構(gòu)成一般線性群 GL(E)的一個子群 SL(E)，稱作特殊線性群?？梢宰C明， SL(E)是由所有的錯切生成的，即所有具有如下形式的矩陣代表的線性變換：

　　也就是說，錯切變換保持向量組形成的“平行多面體”的體積。同樣，可以證明兩個相似矩陣有相等的行列式。

　　行列式基本介紹

　　行列式簡介

　　行列式在數(shù)學中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。 [1]其定義域為nxn的矩陣 A，取值為一個標量，寫作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。無論是在線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學中(比如說換元積分法中)，行列式作為基本的數(shù)學工具，都有著重要的應用。 行列式概念最早出現(xiàn)在解線性方程組的過程中。十七世紀晚期，關(guān)孝和與萊布尼茨的著作中已經(jīng)使用行列式來確定線性方程組解的個數(shù)以及形式。十八世紀開始，行列式開始作為獨立的數(shù)學概念被研究。十九世紀以后，行列式理論進一步得到發(fā)展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，行列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用，出現(xiàn)了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。

　　特性

　　行列式的特性可以被概括為一個多次交替線性形式，這個本質(zhì)使得行列式在歐幾里德空間中可以成為描述“體積”的函數(shù)。

　　若干數(shù)字組成的一個類似于矩陣的方陣，與矩陣不同的是，矩陣的表示是用中括號，而行列式則用線段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的積的代數(shù)和，既是一個實數(shù)：求每一個積時依次從每一行取一個元因子，而這每一個元因子又需取自不同的列，作為乘數(shù)，積的符號是正是負決定于要使各個乘數(shù)的列的指標順序恢復到自然順序所需的換位次數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)。也可以這樣解釋：行列式是矩陣的所有不同行且不同列的元素之積的代數(shù)和，和式中每一項的符號由積的各元素的行指標與列指標的逆序數(shù)之和決定：若逆序數(shù)之和為偶數(shù)，則該項為正;若逆序數(shù)之和為奇數(shù)，則該項為負。

　　逆序數(shù)

　　在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序。一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列;逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序數(shù)是4，為偶排列。

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