反函數(shù)的定義是什么

學(xué)好數(shù)學(xué)要依靠理解，“數(shù)學(xué)理解”應(yīng)受到數(shù)學(xué)教育界的普遍關(guān)注?！胺春瘮?shù)”是函數(shù)知識的重要組成部分，也是函數(shù)教學(xué)中的重點和難點，反函數(shù)的定義是什么?以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于反函數(shù)的定義，歡迎大家前來閱讀!

反函數(shù)的概念

所謂反函數(shù)就是將原函數(shù)中自變量與變量調(diào)換位置，用原函數(shù)的變量表示自變量而形成的函數(shù)。存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對應(yīng)的(不一定是整個數(shù)域內(nèi)的)。

函數(shù)的定義

一般地，如果x與y關(guān)于某種對應(yīng)關(guān)系f(x)相對應(yīng)，y=f(x)。則y=f(x)的反函數(shù)為y=f^-1(x)。

存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對應(yīng)的(不一定是整個數(shù)域內(nèi)的)

【反函數(shù)的性質(zhì)】

(1)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;

(2)函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射;

(3)一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致;

(4)一般的偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)(但一種特殊的偶函數(shù)存在反函數(shù),例f(x)=a(x=0)它的反函數(shù)是f(x)=0(x=a)這是一種極特殊的函數(shù))，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。若一個奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。

(5)一切隱函數(shù)具有反函數(shù);

(6)一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性;

(7)嚴(yán)格增(減)的函數(shù)一定有嚴(yán)格增(減)的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】。

(8)反函數(shù)是相互的

(9)定義域、值域相反對應(yīng)法則互逆(三反)

(10)原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定(三定)

例：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5

y=2^x的反函數(shù)是y=log2 x

例題：求函數(shù)3x-2的反函數(shù)

解：y=3x-2的定義域為R，值域為R.

由y=3x-2解得

x=1/3(y+2)

將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數(shù)是

y=1/3(x+2)

反函數(shù)的基本性質(zhì)

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x= (y). 若對于y在C中的任何一個值，通過x= (y)，x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x= (y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x= (y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f^-1(y). 反函數(shù)y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.

說明：⑴在函數(shù)x=f^-1(y)中，y是自變量，x是函數(shù)，但習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數(shù)，為此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^-1(x)，今后凡無特別說明，函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過改寫的形式.

⑵反函數(shù)也是函數(shù)，因為它符合函數(shù)的定義. 從反函數(shù)的定義可知，對于任意一個函數(shù)y=f(x)來說，不一定有反函數(shù)，若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f^-1(x)，那么函數(shù)y=f^-1(x)的反函數(shù)就是y=f(x)，這就是說，函數(shù)y=f(x)與y=f^-1(x)互為反函數(shù).

⑶從映射的定義可知，函數(shù)y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)y=f(x)的定義域正好是它的反函數(shù)y=f^-1(x)的值域;函數(shù)y=f(x)的值域正好是它的反函數(shù)y=f^-1(x)的定義域(如下表)：

函數(shù)y=f(x)

反函數(shù)y=f^-1(x)

定義域

A C

值 域

C A

⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為：

若確定函數(shù)y=f(x)的映射f是函數(shù)的定義域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所確定的函數(shù)x=f^-1(x)就叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù). 反函數(shù)x=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.

開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數(shù)就可以寫為f^-1(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數(shù)為：f^-1(x)=x/2-3.

有時是反函數(shù)需要進行分類討論，如：f(x)=X+1/X，需將X分類討論：在X大于0時的情況，X小于0的情況，多是要注意的。一般分?jǐn)?shù)函數(shù)的反函數(shù)的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

反函數(shù)的應(yīng)用介紹

直接求原函數(shù)的值域困難時，可以通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域，求反函數(shù)的步驟是這樣的：

1、先求出反函數(shù)的定義域，因為原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域;

(我們知道函數(shù)的三要素是定義域、值域、對應(yīng)法則，所以先求反函數(shù)的定義域是求反函數(shù)的第一步)

2、反解x，也就是用y來表示x;

3、改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x;

4、寫出原函數(shù)及其值域。

實例：y=2x+1(值域：任意實數(shù)) 　　x=(y-1)/2 　　y=(x-1)/2(x取任意實數(shù))

特別地，形如kx+ky=b的直線方程和任意一個反比例函數(shù)，它的反函數(shù)都是它本身。

反函數(shù)求解三步驟： 　　1、換：X、Y換位 　　2、解：解出Y 　　3、標(biāo)：標(biāo)出定義域

反函數(shù)的使用符號

符號

arc

用法

例：三角函數(shù)中

正弦函數(shù)和它的反函數(shù)：f(x)=sinx->x=arcsinx

余弦函數(shù)和它的反函數(shù)：f(x)=cosx->x=arccosx

正切函數(shù)和它的反函數(shù)：f(x)=tanx ->x=arctanx

余切函數(shù)和它的反函數(shù)：f(x)=cotx->x=arccotx

注解

反正弦的意義 ，則符合條件sinx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反正弦，記作：arcsina，即x=arcsina. 注：1、“arcsina”表示中的一個角，其中-1≤a≤1. 2、sin(arcsina)=a. (二)、反余弦的意義 x∈[0，π]，則符合條件cosx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反余弦，記作arccosa，即x=arccosa. 注：1、“arccosa”表示[0，π]中的一個角，其中-1≤a≤1. 2、cos(arccosa)=a. (三)、反正切的意義 ，則符合條件tanx=a的角x叫做a的反正切，記作arctana，即x=arctana. 注：1、“arctana”表示中的一個角. 2、tan(arctana)=a. (四)、用反三角符號表示[0，2π]中角的一般規(guī)律

反函數(shù)的相關(guān)說明

⑴在函數(shù)x=f^(-1)(y)中，y是自變量，x是函數(shù)，但習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數(shù)，為此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f^(-1)(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^(-1)(x)，今后凡無特別說明，函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過改寫的形式。

⑵反函數(shù)也是函數(shù)，因為它符合函數(shù)的定義. 從反函數(shù)的定義可知，對于任意一個函數(shù)y=f(x)來說，不一定有反函數(shù)，若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f^(-1)(x)，那么函數(shù)y=f’(x)的反函數(shù)就是y=f^(-1)(x)，這就是說，函數(shù)y=f(x)與y=f^(-1)(x)互為反函數(shù)。

⑶互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自定義域內(nèi)有相同的單調(diào)性。單調(diào)函數(shù)才有反函數(shù)，如二次函數(shù)在R內(nèi)不是反函數(shù)，但在其單調(diào)增(減)的定義域內(nèi)，可以求反函數(shù)。

⑷ 從映射的定義可知，函數(shù)y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)y=f(x)的定義域正好是它的反函數(shù)y=f^(-1)(x)的值域;函數(shù)y=f(x)的值域正好是它的反函數(shù)y=f^(-1)(x)的定義域(如下表)：

函數(shù)：y=f(x);

反函數(shù)：y=f^(-1)(x);

定義域： A C;

值域： C A;

⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為：

若確定函數(shù)y=f(x)的映射f是函數(shù)的定義域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所確定的函數(shù)y=f^(-1)(x)就叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù). 反函數(shù)y=f‘(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域. 開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數(shù)就可以寫為f^(-1)(s)=s/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數(shù)為：f^(-1)(x)=x/2-3.

有時是反函數(shù)需要進行分類討論，如：f(x)=x+1/x，需將x分類討論：在x大于0時的情況，x小于0的情況，多是要注意的。一般分?jǐn)?shù)函數(shù)的反函數(shù)的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

反函數(shù)存在定理

定理：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必定有嚴(yán)格單調(diào)的反函數(shù)，并且二者單調(diào)性相同。

在證明這個定理之前先介紹函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性。

設(shè)y=f(x)的定義域為D，值域為f(D)。如果對D中任意兩點x1和x2，當(dāng)x1y2，則稱y=f(x)在D上嚴(yán)格單調(diào)遞減。

證明：設(shè)f在D上嚴(yán)格單增，對任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的嚴(yán)格單增性，對D中任一x'x，都有y''>y?？傊苁筬(x)=y的x只有一個，根據(jù)反函數(shù)的定義，f存在反函數(shù)f-1。

任取f(D)中的兩點y1和y2，設(shè)y1

若此時x1≥x2，根據(jù)f的嚴(yán)格單增性，有y1≥y2，這和我們假設(shè)的y1

因此x1

如果f在D上嚴(yán)格單減，證明類似。

反函數(shù)的概述

一函數(shù)f若要是一明確的反函數(shù)，它必須是一雙射函數(shù)，即：

(單射)陪域上的每一元素都必須只被f映射到一次：不然其反函數(shù)必將元素映射到超過一個的值上去。

(滿射)陪域上的每一元素都必須被f映射到：不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函數(shù)。

若f為一實變函數(shù)，則若f有一明確反函數(shù)，它必通過水平線測試，即一放在f圖上的水平線y=k必對所有實數(shù)k，通過且只通過一次。