二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用
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王煥超1由 分享
在初中教材中，對二次函數(shù)作了較詳細的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖像以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。
一、進一步深入理解函數(shù)概念
初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應(yīng)，記為ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進一步處理如下問題：
類型I：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)
這里不能把ƒ(x+1)理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。
類型Ⅱ：設(shè)ƒ(x+1)=x2－4x+1,求ƒ(x)
這個問題理解為，已知對應(yīng)法則ƒ下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。
一般有兩種方法：
(1)把所給表達式表示成x+1的多項式。
ƒ(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x2－6x+6
(2) 變量代換：它的適應(yīng)性強，對一般函數(shù)都可適用。
令t=x+1，則x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6從而ƒ(x)= x2－6x+6
二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖像。
在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（－∞，－b2a]及[－b2a，+∞） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。
類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并通過圖像研究其單調(diào)性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖像。
類型Ⅳ設(shè)ƒ(x)=x2－2x－1在區(qū)間[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并畫出 y=g(t)的圖像
解：ƒ(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時取最小值－2
當(dāng)1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
當(dāng)t＞1時，g(t)=ƒ(t)=t2－2t－1]
當(dāng)t＜0時，g(t)=ƒ(t+1)=t2－2
t2－2, (t<0)
g(t)= -2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補充一些練習(xí)。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數(shù)的值域。
三、二次函數(shù)的知識，可以準確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：
類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的兩個根x1，x2滿足0<x1<x2<1a。
(Ⅰ)當(dāng)X∈(0,x1)時，證明X<ƒ(x)<x1。
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)ƒ(x)的圖像關(guān)于直線x=x0對稱，證明x0< x2。
解題思路：
本題要證明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x1和x0< x2 ，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：①ƒ(x)=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點；②方程ƒ(x)－x=0可變?yōu)閍x2+(b－1)x+1=0，它的兩根為x1,x2，可得到x1,x2與a.b.c之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條①圖像法②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)?，F(xiàn)以思路②為例解決這道題：
(Ⅰ)先證明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因為x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x1)(x－x2)
因為0<x1<x2,所以,當(dāng)x∈(0,x1)時, x－x1<0, x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0,又a＞0,因此ƒ(x) ＞0,即ƒ(x)-x＞0.至此,證得x<ƒ(x)
根據(jù)韋達定理,有 x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2<1a，c=ax1x2<x=ƒ(x1), 又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x1), 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線y=ƒ(x)是開口向上的拋物線，因此，函數(shù)y=ƒ(x)在閉區(qū)間[0，x1]上的最大值在邊界點x=0或x=x1處達到，而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達到，由于ƒ(x1)>ƒ(0)，所以當(dāng)x∈(0,x1)時ƒ(x)<ƒ(x1)=x1，
即x<ƒ(x)<x1
(Ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a（x+－b/2a）2+(c－),（a>0）
函數(shù)ƒ(x)的圖像的對稱軸為直線x=－ b/2a,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=－b/2a，因為x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據(jù)違達定理得，x1+x2=－b-1a，∵x2－1a<0，
∴x0=－b2a=12（x1+x2－1a）<x2,即x0=x2。
二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。
二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識，使我們對它的研究更深入。
一、進一步深入理解函數(shù)概念
初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應(yīng)，記為ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進一步處理如下問題：
類型I：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)
這里不能把ƒ(x+1)理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。
類型Ⅱ：設(shè)ƒ(x+1)=x2－4x+1,求ƒ(x)
這個問題理解為，已知對應(yīng)法則ƒ下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。
一般有兩種方法：
(1)把所給表達式表示成x+1的多項式。
ƒ(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x2－6x+6
(2) 變量代換：它的適應(yīng)性強，對一般函數(shù)都可適用。
令t=x+1，則x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6從而ƒ(x)= x2－6x+6
二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖像。
在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（－∞，－b2a]及[－b2a，+∞） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。
類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并通過圖像研究其單調(diào)性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖像。
類型Ⅳ設(shè)ƒ(x)=x2－2x－1在區(qū)間[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并畫出 y=g(t)的圖像
解：ƒ(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時取最小值－2
當(dāng)1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
當(dāng)t＞1時，g(t)=ƒ(t)=t2－2t－1]
當(dāng)t＜0時，g(t)=ƒ(t+1)=t2－2
t2－2, (t<0)
g(t)= -2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補充一些練習(xí)。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數(shù)的值域。
三、二次函數(shù)的知識，可以準確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：
類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的兩個根x1，x2滿足0<x1<x2<1a。
(Ⅰ)當(dāng)X∈(0,x1)時，證明X<ƒ(x)<x1。
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)ƒ(x)的圖像關(guān)于直線x=x0對稱，證明x0< x2。
解題思路：
本題要證明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x1和x0< x2 ，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：①ƒ(x)=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點；②方程ƒ(x)－x=0可變?yōu)閍x2+(b－1)x+1=0，它的兩根為x1,x2，可得到x1,x2與a.b.c之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條①圖像法②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)?，F(xiàn)以思路②為例解決這道題：
(Ⅰ)先證明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因為x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x1)(x－x2)
因為0<x1<x2,所以,當(dāng)x∈(0,x1)時, x－x1<0, x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0,又a＞0,因此ƒ(x) ＞0,即ƒ(x)-x＞0.至此,證得x<ƒ(x)
根據(jù)韋達定理,有 x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2<1a，c=ax1x2<x=ƒ(x1), 又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x1), 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線y=ƒ(x)是開口向上的拋物線，因此，函數(shù)y=ƒ(x)在閉區(qū)間[0，x1]上的最大值在邊界點x=0或x=x1處達到，而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達到，由于ƒ(x1)>ƒ(0)，所以當(dāng)x∈(0,x1)時ƒ(x)<ƒ(x1)=x1，
即x<ƒ(x)<x1
(Ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a（x+－b/2a）2+(c－),（a>0）
函數(shù)ƒ(x)的圖像的對稱軸為直線x=－ b/2a,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=－b/2a，因為x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據(jù)違達定理得，x1+x2=－b-1a，∵x2－1a<0，
∴x0=－b2a=12（x1+x2－1a）<x2,即x0=x2。
二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。
二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識，使我們對它的研究更深入。