數(shù)學(xué)思想的論文

　　數(shù)學(xué)思想方法是形成學(xué)生的良好認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的紐帶,是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。下文是學(xué)習(xí)啦小編為大家搜集整理的關(guān)于數(shù)學(xué)思想的論文的內(nèi)容，歡迎大家閱讀參考!

　　數(shù)學(xué)思想的論文篇1

　　淺析初中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想

　　數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，又是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。目前初中階段，主要數(shù)學(xué)思想方法有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、化歸的思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)的思想、方程與函數(shù)的思想方法等。

　　一、 方程和函數(shù)思想

　　例1：去冬今春，我國(guó)西南地區(qū)遭遇歷史上罕見(jiàn)的旱災(zāi)。解放軍某部接到了限期打30口井的作業(yè)任務(wù)。部隊(duì)官兵到達(dá)災(zāi)區(qū)后，目睹災(zāi)情，心急如焚，他們?cè)雠蓹C(jī)械車輛，爭(zhēng)分奪秒，每天比原計(jì)劃多打3口井，結(jié)果提前5天完成任務(wù)。求原計(jì)劃每天打多少口井?

　　解析：設(shè)原計(jì)劃每天打x口井，依題意可得：

　　去分母得， ,

　　整理得,

　　解得：

　　經(jīng)檢驗(yàn)：

　　答：原計(jì)劃每天打3口井.

　　把變化過(guò)程中的一些制約變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來(lái)，用函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題就是函數(shù)思想，確立函數(shù)關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

　　點(diǎn)評(píng)：把研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型，從而是問(wèn)題得到解決的方法就是方程思想。一般主要有列方程(組)解應(yīng)用題和解代數(shù)題或幾何題，解題時(shí)要建立正確的方程模型，以便使問(wèn)題得到解決。

　　例2：某賓館有50個(gè)房間供游客住宿，當(dāng)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)為每天l80元時(shí)，房間會(huì)全部住滿.當(dāng)每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑.賓館需對(duì)游客居住的每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用.根據(jù)規(guī)定，每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)不得高于340元.設(shè)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)每天增加x元(x為10的正整數(shù)倍).

　　(1) 設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y，直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;

　　(2) 設(shè)賓館一天的利潤(rùn)為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式;

　　(3) 一天訂住多少個(gè)房間時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大? 最大利潤(rùn)是多少元?

　　解析：(1)y=50- (0 );

　　(2)W=(50- )(180+x-20)=- ;

　　(3) W=- =- +10890,當(dāng)x 時(shí)，W隨x的增大而增大，但0≤x≤160.∴當(dāng)x=160時(shí)， .當(dāng)x=160時(shí)，y=50- =34.

　　答：一天訂住34個(gè)房間時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是10880元.

　　點(diǎn)評(píng)：大膽設(shè)元，抓住關(guān)系構(gòu)建方程，合理轉(zhuǎn)化求解.

　　二、 分類討論思想

　　例3：函數(shù) 與 在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能是( ).

　　解析：當(dāng)m>0時(shí)，函數(shù) 與 在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖1;

　　圖1 圖2

　　當(dāng)m<0時(shí)，函數(shù) 與 在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖2.對(duì)比上述四個(gè)選項(xiàng)，本題應(yīng)選C.

　　說(shuō)明：本題的函數(shù)表達(dá)式中的m有m>0或m<0兩種情況。對(duì)m進(jìn)行分類討論，并根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，繪制相應(yīng)草圖即可解答. 點(diǎn)評(píng)：分類討論思想是對(duì)所求結(jié)論進(jìn)行分類討論、逐類求解，然后綜合得解的思想方法，解題思路是：正確確定分類討論的對(duì)象，對(duì)討論對(duì)象合理分類、逐類討論、歸納 總結(jié)。

　　三、 化歸思想

　　例4：已知2x-3=0.求代數(shù)式 的值.

　　解析：∵2x-3=0，∴x=

　　當(dāng)x= 時(shí)，原式= × + × -9

　　=0.

　　點(diǎn)評(píng)：化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題是采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一 種方法。一般是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變化轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題。

　　綜觀近幾年的中 考試題，側(cè)重參透數(shù)學(xué)思想方法，尤其是壓軸題，考查學(xué)生是否會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，切實(shí)把握好上述幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)注重滲透的過(guò)程，依據(jù)課本內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平，有 計(jì)劃有步驟地滲透，使其成為由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的紐帶，成為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)能力的法寶。

　　數(shù)學(xué)思想的論文篇2

　　淺析高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想

　　一、函數(shù)思想

　　函數(shù)概念和函數(shù)思想的提出和運(yùn)用，使得變量數(shù)學(xué)誕生了，常量數(shù)學(xué)發(fā)展到變量數(shù)學(xué)，函數(shù)思想起了決定性作用。函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象，函數(shù)思想就是運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)，把常量視作變量、化靜為動(dòng)、化離散為連續(xù)，將待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)加以解決的一種思想方法。

　　在數(shù)學(xué)分析中，我們通常用來(lái)解決不等式的證明、方程根的存在性與個(gè)數(shù)、級(jí)數(shù)問(wèn)題、數(shù)列極限等。

　　例1，證明：當(dāng)x>0時(shí)，x- <1n(1+x)。

　　分析：這是一個(gè)不等式證明問(wèn)題，直接證明有一定難度，但是將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題的單調(diào)性，即可解決問(wèn)題。

　　證明：構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=1n(1+x)-x+ ，則f`(x)= -1+x，可證當(dāng)x>0時(shí)，f`(x)>0，因此單調(diào)遞增。又因?yàn)閒(0)=0，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>f(0)=0，即原不等式成立。

　　例2，判斷∑(-1)n 的斂散性。

　　分析：這是一個(gè)級(jí)數(shù)問(wèn)題，該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，化離散為連續(xù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問(wèn)題。

　　解：該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茲判別法知，要判斷其斂散性，只需判斷通項(xiàng)的絕對(duì)值un= =是否單調(diào)減少且趨于為0。為此，將un連續(xù)化，設(shè)f(x)= ，由于f`(x)= ，當(dāng)x>9時(shí)，f`(x)<0，即f(x)在(9，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減。將特殊值x=n(n為大于9)的自然數(shù)代入知，un=f(n)也遞減且極限為0，故此級(jí)數(shù)收斂。

　　二、極限的思想

　　極限的思想方法是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究初等函數(shù)的一門(mén)學(xué)科。極限是研究無(wú)限的有力工具，“極限”揭示了常量與變量、有限與無(wú)限、直線與曲線、勻速運(yùn)動(dòng)與變速運(yùn)動(dòng)對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系。極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終，一方面利用極限的思想給出了連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無(wú)窮小(大)量、級(jí)數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、廣義積分的斂散性、重積分、曲線積分、曲線弧長(zhǎng)、曲面積分等的概念，數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念都離不開(kāi)極限的思想。另一方面在閉區(qū)間列上的區(qū)間套定理體現(xiàn)了極限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多項(xiàng)式函數(shù)去逼近已知函數(shù)等。學(xué)習(xí)者以”極限理論”為工具，以現(xiàn)實(shí)具體的問(wèn)題為背景，從具體到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本質(zhì)，可以增強(qiáng)分析和解決問(wèn)題的能力。

　　對(duì)所求量，先構(gòu)造與其相關(guān)的變量，前提是該變量無(wú)限變化的結(jié)果就是所求量，此時(shí)采用極限運(yùn)算得到所求量。例如邱瞬時(shí)速度、曲面弧長(zhǎng)、曲變形面積等問(wèn)題，就是采用了極限的思想。

　　例3，如果物體做非勻速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)是s=f(t)，其中t為時(shí)間，s是距離，求它在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。

　　解：物體從時(shí)刻到時(shí)刻這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是：

　　v= = ，當(dāng)|△t|很小時(shí)，時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度v0≈v，因此當(dāng)無(wú)限趨近于0(△t≠0) 時(shí)，就無(wú)限趨近于v0，即v0=1im =1im 。

　　三、連續(xù)的思想

　　在數(shù)學(xué)分析中，把函數(shù)的連續(xù)性局部化到當(dāng)函數(shù)的自變量在某點(diǎn)鄰域內(nèi)作微小變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值也在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值鄰域內(nèi)作微小變動(dòng)。

　　這種思想應(yīng)用到連續(xù)函數(shù)求極限的情形，就可以把極限的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的問(wèn)題，從而大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算。如果給定的函數(shù)不連續(xù)，可以通過(guò)整理、化簡(jiǎn)、變換等途徑將其轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)，再利用上面的方法求其極限。

　　例4，求1im ，(a>0，a≠1)。

　　解：將給定的函數(shù)變形為1oga(1+x) ，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，有1im =1im1og(1+x) =1oga[1im(1+x) ]=1ogae。

　　四、數(shù)形結(jié)合的思想

　　數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，而空間形式和數(shù)量關(guān)系之間往往存在密切的聯(lián)系，又有各自特點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合思想方法，就是充分利用形的直觀性和數(shù)的規(guī)范性，通過(guò)數(shù)與形的聯(lián)系轉(zhuǎn)化來(lái)研究數(shù)學(xué)對(duì)象和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。具體包括：數(shù)轉(zhuǎn)化為形的思想;形轉(zhuǎn)化為數(shù)的思想。這種方法使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化、形象化、直觀化，化難為易，最終找到最優(yōu)解決方案。

　　數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)分析課程中的應(yīng)用廣泛，很多抽象問(wèn)題中都蘊(yùn)含著某種幾何意義，借助幾何圖形，對(duì)抽象問(wèn)題進(jìn)行幾何解釋，使抽象問(wèn)題結(jié)合圖形更容易深入理解，更容易掌握其最本質(zhì)的知識(shí)。

　　比如：極限、曲線的漸近線、導(dǎo)數(shù)與微分、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分、定積分與重積分、反常積分(無(wú)窮積分與瑕積分)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凹凸性等概念的幾何意義，對(duì)于確切理解并正確掌握這些基本概念是非常重要的，同時(shí)為解決各種實(shí)際問(wèn)題提供了多樣化的方法。

　　又比如：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)基本性質(zhì)(介值性定理、根的存在定理)、微分中值定理(羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理)、積分中值定理、費(fèi)馬定理、隱函數(shù)存在唯一性定理等幾何意義，不論對(duì)定理的深入理解，還是對(duì)啟發(fā)證明定理結(jié)論方面有很大幫助。

　　例5，下面僅談?wù)剮缀螆D形對(duì)拉格朗日定理的內(nèi)容的理解及證明所起的作用。

　　為了敘述的方便，首先將拉格朗日定理陳述如下：若函數(shù)f滿足如下：(1)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);(2)f在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f`()= 。

　　它的幾何意義是若一條曲線在[a，b]上連續(xù)，曲線上每一點(diǎn)都存在切線，則曲線上至少存在一點(diǎn)θ(，f())，過(guò)點(diǎn)θ的切線平行于割線AB(圖1)。此定理的證明關(guān)鍵在于運(yùn)用其幾何意義，考慮到這個(gè)定理比羅爾定理少了一個(gè)條件，構(gòu)造輔助函數(shù)使其滿足羅爾定理的要求，即滿足函數(shù)在端點(diǎn)的取值相同，最后用羅爾定理得出最后的結(jié)論。因此，想辦法構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)F(x)，使得在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)并且F(a)=F(b)。觀察圖1可知，割線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)A與B，要使F(a)=F(b)，只需使F(x)的圖像經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)(x)可取為曲線縱坐標(biāo)與割線縱坐標(biāo)之差。其中，曲線的方程為y=f(x)，割線AB的方程為y=f(a)+ (x-a)，可見(jiàn)，幾何圖形在此定理的證明起到關(guān)鍵的作用。