淺談粒度計算

摘要：粒度計算是新近興起的人工智能研究領(lǐng)域的一個方向，本文簡單介紹粒度計算的主要三個方法，以及之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：粒度計算、模糊邏輯、商空間理論、粗糙集理論。

人們在思考問題時，或者是先從總體進行觀察，然后再逐步深入地研究各個部分的情況；或先從各個方面對同一問題進行不同側(cè)面的了解，然后對它們進行綜合；或是上面兩種方法的組合，即時而從各側(cè)面對事物進行了解，然后進行綜合觀察，時而綜合觀察后，對不甚了解的部分再進行觀察……總之，根據(jù)需要從不同側(cè)面、不同角度反復(fù)對事物進行了解、分析、綜合、推理.最后得出事物本質(zhì)的性質(zhì)和結(jié)論.

人工智能研究者對人類這種能力進行了深入地研究，并建立了各種形式化的模型.本文要介紹的粒度計算,就是對上述問題的研究的一個方面.

人工智能最主要的目的是，為人類的某些智能行為建立適當(dāng)?shù)男问交Ｐ?，以便利用計算機能再顯人的智能的部分功能。什么是人類的最主要的智能，或者說智能的最重要表現(xiàn)形式是什么。各家有不同的看法，如Simon等認為人的智能表現(xiàn)為，對問題求解目標的搜索（Search）能力。比如學(xué)生在證明一道平面幾何題目時，進行思考，“聰明的小孩”能很快地找到證明該結(jié)論的有關(guān)的定理性質(zhì)，并很快地應(yīng)用上去，從而就得到證明。“數(shù)學(xué)能力差的學(xué)?笨贍芏?椅餮埃?也壞膠鮮實畝ɡ硨托災(zāi)剩?評慈迫ィ?艿貌壞街っ韉囊?歟籔awlak[P1]則認為人的智能表現(xiàn)為對事物（事件、行為、感知等）的分類（Classification）能力。如平時我們說某醫(yī)生本事大，就是這位醫(yī)生能從病人的癥狀中，正確地診斷出病人是患什么?。ǚ诸惸芰Γ》殖龌际裁床恚┑鹊?。我們認為“人類智能的公認特點，就是人們能從極不相同的粒度(Granularity)上觀察和分析同一問題。人們不僅能在不同粒度的世界上進行問題求解，而且能夠很快地從一個粒度世界跳到另一個粒度的世界，往返自如，毫無困難。這種處理不同世界的能力，正是人類問題求解的強有力的表現(xiàn)”[ZH1]。還有很多不同的理解，人們正是從這些不同的理解分別建立各自的模型和相關(guān)的理論和方法。

粒度計算目前國際上有三個主要的模型和方法，下面簡單進行介紹。

下面簡單介紹有關(guān)“粒度計算”的三個不同的模型和方法。

什么是粒度，顧名思義，就是取不同大小的對象。也就是說，將原來“粗粒度”的大對象分割為若干“細粒度”的小對象，或者把若干小對象合并成一個大的粗粒度對象，進行研究。

最近Zadeh在[ZA1]-[ZA3]中,討論模糊信息粒度理論時，提出人類認知的三個主要概念，即粒度(granulation)、組織 (organization)、因果(causation)(粒度包括將全體分解為部分，組織包括從部分集成為全體，因果包括因果的關(guān)聯(lián)）。并進一步提出粒度計算。他認為，粒度計算是一把大傘它覆蓋了所有有關(guān)粒度的理論、方法論、技術(shù)和工具的研究。指出：“粗略地說，粒度計算是模糊信息粒度理論的超集，而粗糙集理論和區(qū)間計算是粒度數(shù)學(xué)的子集”。

Zadeh 的工作激起了學(xué)術(shù)界對粒度計算研究的興趣，Y.Y.Yao和他的合作者對粒度計算進行了一系列的研究[Y1]-[Y3]并將它應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域，其工作的要點是用決策邏輯語言(DL-語言)來描述集合的粒度(用滿足公式f元素的集合，來定義等價類m(f))，建立概念之間的IF-THEN關(guān)系與粒度集合之間的包含關(guān)系的聯(lián)系，并提出利用由所有劃分構(gòu)成的格，來求解一致分類問題。這些研究為知識挖掘提供了一些新的方法和角度。

按Zadeh粒度計算的定義,我們提出的商空間理論和Pawlak的粗糙集理論都屬于“粒度計算”范疇。

目前有關(guān)粒度計算的理論與方法，主要有三個。一是Zadeh的“詞計算理論”（Theory of Works Computing），一是Pawlak的“粗糙集理論”（Theory of Rough Set），另一個是我們提出的“商空間理論”（Theory of Quotient Space）。

下面簡單介紹三者的內(nèi)容：

Zadeh認為人類在進行思考、判斷、推理時主要是用語言進行的，而語言是一個很粗的“粒度”，如我們說“九寨溝的風(fēng)景很美”，其中“很美”這個詞就比較 “龐統(tǒng)”，也就是說其粒度很粗，如何利用語言進行推理判斷，這就是要進行“詞計算”，早在二十世紀六十年代Zadeh提出模糊集理論，就是“詞計算”的雛型。沿Zadeh的模糊集論的方向，用模糊數(shù)學(xué)的方法進行有關(guān)粒度計算的方法和理論的研究，就構(gòu)成“粒度計算”的一個非常重要的方法和方向。這也是人們比較熟悉的一個方法。

2. 粗糙集理論：

波蘭學(xué)者Pawlak[P1]在二十世紀八十年代，提出的粗糙集理論，他提出一個假設(shè)：人的智能(知識)就是一種分類的能力，這個假設(shè)可能不是很完備，但卻非常精練。在此基礎(chǔ)上提出，概念可以用論域中的子集來表示，于是在論域中給定一組子集族，或說給定一個劃分（所謂劃分，是指將X分成兩兩不相交的子集之并）。從數(shù)學(xué)上知道，給定X上的一個劃分，等價于在X上給定一個等價關(guān)系R。Pawlak稱之為在論域上給定了一個知識基(X,R)。然后討論一個一般的概念x（X中的一個子集），如何用知識基中的知識來表示，就是用知識基中的集合的并來表示。對那些無法用(X,R)中的集合的并來表示的集合,他借用拓撲中的內(nèi)核和閉包的概念,引入R-下近似R_-(x)（相當(dāng)于x的內(nèi)核）和R-上近似R^-(x)（相當(dāng)于x的閉包），當(dāng)R_-(x)¹R^-(x)時,就稱x為粗糙集.從而創(chuàng)立了“粗糙集理論”。目前粗糙集理論已被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，特別是數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域，并獲得成功。

3.基于商空間的粒度計算.

我們認為概念可以用子集來表示,不同粒度的概念就體現(xiàn)為不同粒度的子集,一簇概念就構(gòu)成空間的一個劃分----商空間(知識基),不同的概念簇就構(gòu)成不同的商空間. 故粒度計算,就是研究在給定知識基上的各種子集合之間的關(guān)系和轉(zhuǎn)換.以及對同一問題,取不同的適當(dāng)?shù)牧６?從對不同的粒度的研究中,綜合獲取對原問題的了解.這種對粒度的理解與模糊集對粒度的理解不完全一樣.

下面簡單介紹基于商空間的粒度計算。

商空間的模型用一個三元組來表示，即(X,F,T),其中X是論域,F是屬性集,T是X上的拓撲結(jié)構(gòu).當(dāng)我們?nèi)〈至６葧r,即給定一個等價關(guān)系R (或說一個劃分),于是我們說得到一個對應(yīng)于R的商集記為[X],它對應(yīng)于的三元組為([X],[F],[T]),稱之為對應(yīng)于R的商空間.商空間理論就是研究各商空間之間的關(guān)系、各商空間的合成、綜合、分解和在商空間中的推理。

在這個模型下,可建立對應(yīng)的推理模型,并有如下的性質(zhì).

A. 商空間模型中推理的“保假原理”（或“無解保持原理”）.

B. 商空間模型中推理合成的“保真原理”.

所謂“保假原理”是指若一命題在粗粒度空間中是假的，則該命題在比它細的商空間中一定也無解。

所謂“保真原理”，是指，若命題在兩個較粗粒度的商空間中是真的，則（在一定條件下），在其合成的商空間中對應(yīng)的問題也是真的。

這兩個原理在商空間模型的推理中起到很重要的作用，如若我們要對一個問題進行求解，當(dāng)問題十分復(fù)雜時，常先進行初步分析，即取一個較粗粒度商空間，將問題化成在該空間上的對應(yīng)的問題，然后進行求解，若得出該問題在粗粒度空間中是無解，則由“保假原理”，立即得原問題是無解的。因為粗粒度的空間規(guī)模小，故計算量也少，這樣我們就可以以很少的計算量得出所要的結(jié)果，達到“事半功倍”的目的。

同樣利用“保真原理”也可達到降低求解的復(fù)雜性目的，設(shè)在兩個較粗空間X1、X2上進行求解,得出對應(yīng)的問題有解.利用“保真原理”可得，在其合成的空間X3上問題也有解。設(shè)X1、X2的規(guī)模分別為s₁、s₂。因為一般情況下，X3的規(guī)模最大可達到s₁s₂。于是將原來要求解規(guī)模為s₁s₂空間中的問題，化成求解規(guī)模分別為s₁、s₂的兩個空間中的問題。即將復(fù)雜性從“相乘”降為“相加”。

三者都是描述人類能按不同粒度來處理事物的能力的模型.

商空間理論、粗糙集理論認為概念可以用子集來表示，不同粒度的概念可以用不同大小的子集來表示，所有這些表示可以用等價關(guān)系來描述。

詞計算理論認為概念是用“詞”來表示，而描述“詞”的有效的方法就是模糊集理論。