關(guān)于線性空間定義的一點(diǎn)注記

為了在使用上方便，對(duì)某些概念進(jìn)行定義時(shí)，總會(huì)給上更多的限制條件。這樣一來(lái)，在驗(yàn)證某些概念時(shí)就需要驗(yàn)證更多條件，這顯然不是我們想要的。但通過(guò)下文的證明，這多余的條件其實(shí)更加方便使用。本文討論的是，線性空間八大公理與七大公理等價(jià)的問(wèn)題。目的就是為了說(shuō)明上面的事實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)讀書。
在郭聿琦等主編的《線性代數(shù)帶引》，或者說(shuō)任何一本代數(shù)學(xué)教材，在定義線性空間時(shí)均采用了如下的八大公理：
但是筆者在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，從本質(zhì)上講，八大公理只需七大公理即可，第一公理可由后七公理導(dǎo)出。本文正是為證明此命題的。
首先證明兩個(gè)事實(shí)：
事實(shí)一、
事實(shí)二、
說(shuō)明：為了避免在命題證明過(guò)程中出現(xiàn)循環(huán)引用的情況，下面的推導(dǎo)過(guò)程前后步驟間均給出直接引用的事實(shí)，用記號(hào)表示這一原則，其中的表示利用公理（2）可由得到。
證明：
（事實(shí)一）

綜上事實(shí)一即得證.

（事實(shí)二）

基于上面兩個(gè)事實(shí)，下面證明下面的命題：
命題：線性空間中八大公理（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）與七大公理（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）等價(jià)。
可以看出，兩大公理體系僅有一個(gè)公理的差別，因此為證明此命題只需要公理（1）可以由其余七大公理導(dǎo)出即可。
證明：必要性是顯然成立的；
充分性
只需證明（1）可由（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）推出即可。

綜上全部，命題即得以證明。
可以看出，上面兩個(gè)定義的等價(jià)性是毋庸質(zhì)疑的；并且可以看出，在證明的過(guò)程中只是反復(fù)的引用公理事實(shí)。這就啟示我們?cè)诙x概念時(shí)，多加條件其實(shí)沒(méi)有影響，相反還會(huì)簡(jiǎn)化我們驗(yàn)證的過(guò)程，否則每次都要重復(fù)上面的過(guò)程去驗(yàn)證交換律，這就是公理化體系的優(yōu)點(diǎn)。
這個(gè)命題是由我的恩師王正攀轉(zhuǎn)述給我們的，他得之于郭聿琦教授。
參考文獻(xiàn)
[1]郭聿琦.岑嘉評(píng).徐貴桐.線性代數(shù)導(dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社，2001.