數(shù)學(xué)教育哲學(xué)論文(2)
數(shù)學(xué)教育哲學(xué)論文
數(shù)學(xué)教育哲學(xué)論文篇二
《數(shù)學(xué)教育:在哲學(xué)思想牽引下自由呼吸》
摘要：當(dāng)下數(shù)學(xué)教育最顯性的問題是教師“數(shù)學(xué)觀”、“數(shù)學(xué)教育觀”的遮蔽、遺忘或缺席。作為教育主導(dǎo)者，教師必須自覺反思、追問數(shù)學(xué)本體和數(shù)學(xué)教育的價(jià)值，即“數(shù)學(xué)是什么”和“數(shù)學(xué)教育為了什么”，并在好的“數(shù)學(xué)觀”和“數(shù)學(xué)教育觀”的牽引下去捕捉數(shù)學(xué)文本中的“哲學(xué)基因”和數(shù)學(xué)教學(xué)的“哲學(xué)氣質(zhì)”!
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)觀;數(shù)學(xué)教育觀;哲學(xué)化教學(xué)實(shí)踐
題記：“那些不用哲學(xué)去思考問題的教育工作者必然是膚淺的。一個(gè)膚淺的教育工作者，可以是好的教育工作者，也可能是壞的教育工作者——但是，好也好得有限，而壞卻每況愈下。”
——【美】喬治·F·奈勒(Kneller，G.F)
數(shù)學(xué)是人類認(rèn)識世界的一門科學(xué)，閃爍著人類思想的光輝。數(shù)學(xué)和哲學(xué)有著內(nèi)在淵源，哲學(xué)以其博大之胸懷容納著數(shù)學(xué)理論，數(shù)學(xué)以其深刻之思想豐富著哲學(xué)寶庫。好的數(shù)學(xué)教育依靠好的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀和方法論。故而，教師應(yīng)善于從哲學(xué)視角反思數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育。一如數(shù)學(xué)家德莫林斯(B.Demoulins)所說：“沒有數(shù)學(xué)，我們無法看透哲學(xué)的深度，沒有哲學(xué)，我們也無法看透數(shù)學(xué)的深度;而若沒有兩者，我們就什么也看不透。”讓我們揭開哲學(xué)的神秘面紗，期盼著數(shù)學(xué)教育在哲學(xué)思想牽引下自由呼吸!
一、哲學(xué)視角：數(shù)學(xué)教育的問題追問
數(shù)學(xué)教育哲學(xué)化追問首先是對“數(shù)學(xué)觀”、“數(shù)學(xué)教育價(jià)值觀”的追問。誠如法國數(shù)學(xué)家托姆(R. Thom)所說：“事實(shí)上，無論人們意愿如何，一切數(shù)學(xué)教學(xué)法根本上都出于某一數(shù)學(xué)哲學(xué)，即便是很不規(guī)范的教學(xué)法也是如此。”類似地，英國數(shù)學(xué)家斯根普(R.Skemp)指出：“我先前總認(rèn)為數(shù)學(xué)教師都是在教同樣的學(xué)科，只是一些人比另一些人教得好而已。但我現(xiàn)在認(rèn)為在‘數(shù)學(xué)’這同一個(gè)名詞下所教的事實(shí)上是兩個(gè)不同的學(xué)科。”美國數(shù)學(xué)家赫斯(R.Hersh)說：“問題不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么，如果不正視數(shù)學(xué)本質(zhì)問題，便永遠(yuǎn)解決不了教學(xué)上的爭議。”
問題一：教師“數(shù)學(xué)觀”的缺失
在數(shù)學(xué)教師心中，“數(shù)學(xué)觀”這類話題離實(shí)踐太遠(yuǎn)。如在“數(shù)學(xué)觀”調(diào)查中，有教師直言：“我不知道什么是數(shù)學(xué)觀，我也不知道我的數(shù)學(xué)觀是什么，但我?guī)缀蹩梢钥隙ǎ@些東西與我的教學(xué)工作無關(guān)。”許多教師認(rèn)為“數(shù)學(xué)觀”問題純粹是一個(gè)“玄學(xué)問題”。更有教師持有某些畸形、空泛的數(shù)學(xué)觀，認(rèn)為“數(shù)學(xué)就是解題”等。
何謂數(shù)學(xué)?或許我們未曾對之進(jìn)行思索，但“數(shù)學(xué)觀”卻猶如一只“看不見的手”牽引著我們。當(dāng)我們遭遇數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們往往需要作出決策，這時(shí)一種“隱蔽觀念”就會(huì)不自覺地左右我們的行為，幫助我們決策、選擇。其實(shí)，這就是“數(shù)學(xué)觀”的雛形。
問題二：教師“數(shù)學(xué)教育觀”的遺忘
國家課標(biāo)制定組曾對兩百名中小學(xué)數(shù)學(xué)教師做過一項(xiàng)調(diào)查，調(diào)查問題是：當(dāng)你看到“數(shù)學(xué)”這個(gè)詞時(shí)你首先想到什么?調(diào)查結(jié)果是：76%的人想到計(jì)算、公式、法則;20%的人想到煩、枯燥、沒意思;只有4%的人回答數(shù)學(xué)使人聰明、有趣、有用。
“學(xué)數(shù)學(xué)有何價(jià)值?”許多教師告訴學(xué)生“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很重要、很有用”，但到底有何價(jià)值卻說不清楚。以至學(xué)生走上社會(huì)后認(rèn)為，“學(xué)數(shù)學(xué)除了應(yīng)付考試外無任何價(jià)值”，“有小學(xué)水準(zhǔn)，夠應(yīng)付日常生活就足夠了”。
數(shù)學(xué)是什么?數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)追尋什么?這不僅指涉數(shù)學(xué)本體，更指向數(shù)學(xué)教育!
二、哲學(xué)思索：數(shù)學(xué)教育的價(jià)值追尋
哲學(xué)視域中追尋價(jià)值首先是追問“數(shù)學(xué)觀”，即“何為數(shù)學(xué)”，其次是追問“數(shù)學(xué)教育觀”，即“數(shù)學(xué)何為”。如此發(fā)問將有助于我們澄明并敞亮數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育之本性、本然，并在此澄明中進(jìn)行哲學(xué)化實(shí)踐，即在哲學(xué)觀牽引下探索“怎樣去進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)”。
(一)數(shù)學(xué)本體的哲學(xué)意蘊(yùn)——追問“何為數(shù)學(xué)”
1.歷史掠影
何為數(shù)學(xué)?中國古代數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)是“技法之術(shù)”“濟(jì)世之術(shù)”“問題解決之器”，是歸納性、方法性的模式之學(xué)，其代表作是《九章算術(shù)》;在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，柏拉圖將數(shù)學(xué)看作“理念外化”，認(rèn)為數(shù)學(xué)是“知性之學(xué)”(介于感性和理念之間)。希臘數(shù)學(xué)重邏輯、演繹，有形上傾向，其代表作為《幾何原本》。近現(xiàn)代以降，數(shù)學(xué)的哲學(xué)化定義層出不窮，如認(rèn)為“數(shù)學(xué)是知識工具”(笛卡爾)、“數(shù)學(xué)是邏輯”(羅素)、“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)”(恩格斯)、“數(shù)學(xué)是一種語言”(維特根斯坦)、“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化的常識”(弗賴登塔爾)、“數(shù)學(xué)是一種活動(dòng)”(斯托利亞爾)……
2.哲學(xué)思辨
數(shù)學(xué)觀是人們對數(shù)學(xué)總的看法，即對數(shù)學(xué)本源、本質(zhì)和發(fā)展的認(rèn)識。數(shù)學(xué)家的“數(shù)學(xué)觀”建基于各自的哲學(xué)立場。自古希臘以降，西方哲學(xué)有經(jīng)驗(yàn)主義和理性主義兩種路向。經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)是直接和現(xiàn)實(shí)世界打交道的，數(shù)學(xué)思想源于經(jīng)驗(yàn)。理性主義數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)是無可懷疑的“真理集合”，是可靠知識的唯一代表。
當(dāng)下數(shù)學(xué)教育“生活化與數(shù)學(xué)化”“形式化與非形式化”“日?；c學(xué)校化”等探討，究其本質(zhì)而言是經(jīng)驗(yàn)主義和理性主義之爭鳴。事實(shí)上，數(shù)學(xué)兼及經(jīng)驗(yàn)性和演繹性。一方面，數(shù)學(xué)是由概念、定義、定理等材料經(jīng)演繹而成的，是系統(tǒng)的演繹科學(xué);另一方面，數(shù)學(xué)也是體驗(yàn)性、創(chuàng)造性的歸納科學(xué)。數(shù)學(xué)誕生之初，人類計(jì)算牲畜、丈量土地法是一種不能離開實(shí)物的“實(shí)驗(yàn)法”，但數(shù)學(xué)一經(jīng)產(chǎn)生，研究的就是超越實(shí)物對象的“思想物”(如抽象的“點(diǎn)”、“線”等)。數(shù)學(xué)是演(演繹)算(算法)，“是可誤的、可糾正的”。
(二)數(shù)學(xué)教育的哲學(xué)意趣——追問“數(shù)學(xué)何為”
1.歷史掠影
中國古代數(shù)學(xué)教育重算法、應(yīng)用，西方數(shù)學(xué)教育則重思維、演繹。教育史上曾有“實(shí)質(zhì)教育”和“形式教育”之分。數(shù)學(xué)“實(shí)質(zhì)教育”主張數(shù)學(xué)是“科學(xué)的皇后”，為自然科學(xué)奠基;數(shù)學(xué)“形式教育”將數(shù)學(xué)作為“最高形式理性訓(xùn)練”。概言之，數(shù)學(xué)教育有“經(jīng)世致用”取向與“理性思辨”取向。
2.哲學(xué)思辨
當(dāng)代數(shù)學(xué)教育價(jià)值表現(xiàn)在：一方面，數(shù)學(xué)教育以其嚴(yán)密的知識體系掌握、思維訓(xùn)練、人格陶冶等“形式”充分發(fā)揮人的心智功能，實(shí)現(xiàn)人們求真、尚美之天性，具備理性價(jià)值;另一方面，由數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)性、實(shí)踐性衍生出來的應(yīng)用廣泛性直接決定了數(shù)學(xué)教育的實(shí)用(工具)價(jià)值。
教育中，教師一方面要關(guān)照兒童經(jīng)驗(yàn)，充分發(fā)掘“知識原型”，對接“日常數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”，引導(dǎo)兒童經(jīng)歷“橫向數(shù)學(xué)化”(從生活到數(shù)學(xué));另一方面要培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)眼光，讓兒童學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)式”思維，引導(dǎo)兒童經(jīng)歷“縱向數(shù)學(xué)化”(從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué))!
三、哲學(xué)化實(shí)踐：哲學(xué)觀牽引下的數(shù)學(xué)教育
數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教育實(shí)踐的“活的哲學(xué)”，指引數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展。同時(shí)，數(shù)學(xué)教育實(shí)踐也應(yīng)成為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的“活的源泉”，為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究提供鮮活的感性素材。數(shù)學(xué)教育實(shí)踐是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。
(一)捕捉數(shù)學(xué)文本中的哲學(xué)基因
當(dāng)我們用“哲學(xué)眼光”打量小數(shù)教材時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)許多蘊(yùn)含“哲學(xué)味”、能萌發(fā)兒童哲思的數(shù)學(xué)素材，如本源性素材、發(fā)展性素材、本質(zhì)性素材等。教師要善于捕捉數(shù)學(xué)文本中的哲學(xué)基因。
1.追本溯源，發(fā)掘“本源性素材”
哲學(xué)總是追問本源，數(shù)學(xué)教學(xué)也要追本溯源(概念發(fā)生之源、工具產(chǎn)生之源、法則建構(gòu)之源)。如低年級“加減乘除”的符號由來;中年級“古代計(jì)數(shù)法”“24時(shí)計(jì)時(shí)法”“時(shí)間尺誕生”“分?jǐn)?shù)產(chǎn)生”“鋪地錦”“測量工具發(fā)展”“古代試商”“算籌法”“計(jì)算工具發(fā)展”“三角板的來歷”“量角器的誕生”“歌德巴赫猜想”“埃拉托斯特尼篩法”“古代歐洲‘雙倍法’”“用字母表示數(shù)”等;高年級“《九章算術(shù)2》之正負(fù)數(shù)思想、以盈補(bǔ)虛法”“古代方程思想發(fā)展”“求公因數(shù)方法”“祖沖之的‘圓周率’”“劉徽的割圓術(shù)”“黃金比”“雞兔同籠”“古代圓柱、圓錐的體積計(jì)算”等。通過“本源性素材”，明晰知識的“源”“流”。
2.叩問本質(zhì)，透析“本質(zhì)性素材”
“叩問本質(zhì)”是經(jīng)典性哲學(xué)思維。如教學(xué)“平移和旋轉(zhuǎn)”要抓住“方向、距離、角度”;教學(xué)“用字母表示數(shù)”，要讓孩子感悟“字母不但可表示已知、確定的數(shù)，更可表示未知、不確定的數(shù)”;教學(xué)“間隔排列”要滲透“一一對應(yīng)”思想;教學(xué)“平行四邊形、三角形、梯形面積”要滲透“轉(zhuǎn)化”思想，追問“轉(zhuǎn)化”依據(jù);教學(xué)“方程”，要讓兒童體驗(yàn)“尋找未知數(shù)”過程;教學(xué)“圖形覆蓋現(xiàn)象”規(guī)律，要讓兒童深度思考“為什么‘得到不同選擇的個(gè)數(shù)’比‘平移的次數(shù)’多1”;教學(xué)“倒數(shù)”，要緊扣“乘積是1”，等等。本質(zhì)是知識內(nèi)核，要給兒童以深刻體驗(yàn)!
3.承前啟后，關(guān)注“發(fā)展性素材”
辯證哲學(xué)觀認(rèn)為，事物是不斷發(fā)展的，數(shù)學(xué)知識也是如此。許多數(shù)學(xué)概念是按兒童年齡特征、認(rèn)知規(guī)律編排的，其意義處于不斷擴(kuò)充與發(fā)展中。最簡單的如數(shù)“1”，認(rèn)數(shù)時(shí)表示基數(shù)、序數(shù)意義;以后在多位數(shù)不同數(shù)位上時(shí)表示10、100、1000等;引進(jìn)小數(shù)和分?jǐn)?shù)意義后則表示一個(gè)整體。再如“0”，開始認(rèn)數(shù)時(shí)表示一個(gè)單位也沒有;以后在多位數(shù)讀寫中用來“占位”;學(xué)習(xí)計(jì)量后在刻度尺、量角器上又表示起點(diǎn)。又如“分?jǐn)?shù)”，不同情境有不同“意義”(份數(shù)、商、比以及公理化意義等)。對于發(fā)展型素材，教學(xué)時(shí)要能承前啟后!
4.把握關(guān)聯(lián)，洞悉“結(jié)構(gòu)性素材”
“關(guān)系哲學(xué)”認(rèn)為，知識不應(yīng)是散點(diǎn)形態(tài)，而應(yīng)鑲嵌在關(guān)系之中。數(shù)學(xué)教學(xué)有兩個(gè)層面，一是對“知識點(diǎn)”本身的理解，二是對知識結(jié)構(gòu)(知識鏈、知識網(wǎng)、知識群)的把握。單子式“知識點(diǎn)”只有融入“知識結(jié)構(gòu)”中才能獲得深刻認(rèn)識。知識結(jié)構(gòu)有外顯結(jié)構(gòu)和內(nèi)隱結(jié)構(gòu)。如因數(shù)→倍數(shù)→公因數(shù)→公倍數(shù)→約分→通分→異分母分?jǐn)?shù)相加減，長方形→正方形→平行四邊形→三角形→梯形面積計(jì)算等就是一種外顯結(jié)構(gòu)，外顯結(jié)構(gòu)教學(xué)當(dāng)循“序”漸進(jìn)。而貫穿整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算算理的是一條暗線，其內(nèi)隱結(jié)構(gòu)為“只有計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減”;長方體、正方體、圓柱體側(cè)面積、體積計(jì)算公式各異，而其內(nèi)隱結(jié)構(gòu)分別為“S=ch”和“V=sh”。內(nèi)隱結(jié)構(gòu)教學(xué)當(dāng)能洞悉知識的聯(lián)結(jié)點(diǎn)、結(jié)構(gòu)點(diǎn)、生長點(diǎn)!
(二)讓數(shù)學(xué)教學(xué)蘊(yùn)含哲學(xué)氣質(zhì)
數(shù)學(xué)知識兼有經(jīng)驗(yàn)性和超驗(yàn)性。“經(jīng)驗(yàn)性知識”教學(xué)適合演繹，遵循知識的發(fā)生原則;“超驗(yàn)性知識”教學(xué)適合于“猜測與反駁”、“證明與證偽”。不同的教學(xué)方式、主張與流派背后顯現(xiàn)的是不同的數(shù)學(xué)觀與教育觀。蘊(yùn)含哲學(xué)氣質(zhì)的教學(xué)關(guān)注知識與人的相遇及意義聯(lián)系，遵循對話的“邏格斯”，一如孔子之啟發(fā)式、蘇格拉底之產(chǎn)婆術(shù)。
1.“融通式”教學(xué)：“高觀點(diǎn)”下洞悉知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)
數(shù)學(xué)哲學(xué)認(rèn)為，知識不僅僅是公式的羅列，而是圍繞“高觀點(diǎn)”(The high point of view)組織的。“高觀點(diǎn)”是知識的靈魂。在數(shù)學(xué)家克萊因看來，數(shù)學(xué)教師的職責(zé)是“使學(xué)生了解數(shù)學(xué)并不是孤立的各門學(xué)問，而是一個(gè)有機(jī)整體”。他認(rèn)為：“許多初等數(shù)學(xué)現(xiàn)象只有在非初等理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能被深刻理解。”教師應(yīng)站在“高觀點(diǎn)”下審視、理解初等數(shù)學(xué)問題。唯如此，數(shù)學(xué)教育方能居高臨下、以簡馭繁!
教學(xué)“交換律”(蘇教版《數(shù)學(xué)》第七冊)，通常教法是：教師出示多個(gè)算式，讓孩子計(jì)算，然后簡單比較，揭示加法交換律，接著就是簡單運(yùn)用，這種教學(xué)遮蔽了“交換律”的普適價(jià)值。筆者教學(xué)時(shí)通過整合單元教材，以“高觀點(diǎn)”導(dǎo)引兒童學(xué)習(xí)。教學(xué)伊始，由等式“3+4=4+3”引發(fā)兒童猜想：是否任意兩數(shù)相加，交換加數(shù)位置，和都不變?然后讓學(xué)生舉例，通過多元例證進(jìn)行“不完全歸納”，揭示“加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”。接著引導(dǎo)類比猜想：在加法中，交換幾個(gè)加數(shù)的位置，和還不變嗎?在乘法中是否也有交換律?在減法和除法中呢?由此突破作為單一運(yùn)算的“加法交換律”，形成關(guān)于“交換律”(高觀點(diǎn))本身的多個(gè)猜想。經(jīng)由不完全歸納“證明”和舉例“證偽”，兒童初步感受“加法、乘法交換律”。接著借助形象的“點(diǎn)子圖”，讓兒童直觀理解“加法、乘法交換律”，體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法的精妙。最后用“( )+( )=( )+( )”引領(lǐng)兒童多樣表達(dá)，滲透數(shù)學(xué)的“集合”與“符號”思想!
2.“發(fā)生式”教學(xué)：讓兒童主動(dòng)創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識
“發(fā)生式”教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要路徑。因?yàn)榻^大多數(shù)學(xué)知識的源頭并不神秘，其形成過程是充滿溫情的，因此我們要順著知識誕生的內(nèi)在邏輯事理來進(jìn)行教學(xué)，引領(lǐng)兒童重蹈人類知識生發(fā)歷程中的關(guān)鍵步子。比如我們從很多相同的數(shù)相加比較麻煩，創(chuàng)造出乘法——它是加法的另一種表現(xiàn)形式;9+X，很多孩子算起來慢，由此建構(gòu)“湊十法”的數(shù)學(xué)模型。
教學(xué)“確定位置”(蘇教版《數(shù)學(xué)》第十二冊)，通常教法是：教師直接告訴學(xué)生“東北方向叫北偏東”。如此，孩子便產(chǎn)生疑問，“為什么東北方向叫北偏東，不叫東偏北?”鑒于孩子的合理發(fā)問，筆者教學(xué)時(shí)利用課件在平面圖上分別顯示從正北方向略偏東和從正東方向略偏北兩個(gè)位置，激發(fā)學(xué)生自主創(chuàng)造“數(shù)學(xué)規(guī)定”。經(jīng)交流，孩子們普遍贊同“正北方向略偏東叫北偏東，正東方向略偏北叫東偏北”，因?yàn)檫@樣規(guī)定方便。然后筆者用課件將目標(biāo)位定于“北偏東45度方向”，激發(fā)兒童認(rèn)知沖突——“這個(gè)方向既可認(rèn)為是北偏東，也可認(rèn)為是東偏北，兩種說法容易形成混亂，且平面上的方向被分成了八種。”接著筆者適時(shí)啟發(fā)：在茫茫大海上航行，我們怎樣辨別方向?孩子們很快想到指南針，先用指南針確定南北，再看偏離這兩個(gè)方向的角度。至此，孩子深刻體驗(yàn)到“北偏東”“南偏西”規(guī)定的合理性。
3.“歸納式”教學(xué)：引領(lǐng)兒童進(jìn)行數(shù)學(xué)的“過程抽象”
數(shù)學(xué)知識是人類“生命·實(shí)踐”活動(dòng)的智慧結(jié)晶。數(shù)學(xué)教學(xué)如果按照“了解符號—記憶概念—強(qiáng)化符號—鞏固應(yīng)用”的邏輯展開，那么兒童經(jīng)歷的只是符號的“形式抽象”，并無過程體驗(yàn)。“歸納式”教學(xué)(含完全與不完全歸納)是讓兒童在操作、感知大量“異質(zhì)性”材料基礎(chǔ)上，通過聚類分析(尋找不同中的相同)和分類分析(尋找相同中的不同)，對知識進(jìn)行“過程抽象”，發(fā)展兒童的“本質(zhì)思維”。
教學(xué)“正比例的意義”(蘇教版《數(shù)學(xué)》第十二冊)，通常教法是：首先復(fù)習(xí)數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)教材問題直奔主題，直導(dǎo)判定法——兩種量相關(guān)聯(lián)、一種量擴(kuò)大(縮小)另一種量也擴(kuò)大(縮小)，兩種量對應(yīng)數(shù)的比值(商)一定。其結(jié)果是兒童雖然能準(zhǔn)確判定兩種量之間的關(guān)系，但卻沒有體驗(yàn)到變量之間的相互依存關(guān)系。鑒于此，筆者教學(xué)時(shí)首先出示豐富的感性素材，這些素材有蠟燭燃燒和汽車行駛(統(tǒng)計(jì)表出示)，股票行情、兩個(gè)人的年齡變化情況，正方形的周長與邊長變化(圖像表示)，正方形的面積公式。孩子們迅速發(fā)現(xiàn)這些素材中都是兩個(gè)變量，但關(guān)系不同。于是，孩子們對這些素材進(jìn)行分類：第一類：一種量增加另一種量也增加;第二類：一種量增加另一種量反而減少;第三類：一種量增加另一種量時(shí)增時(shí)減。然后筆者引導(dǎo)孩子對“同時(shí)增加”的一類作深入研究，通過圖像，孩子們將這一大類又分成兩小類：直線上升和曲線上升，繼而發(fā)現(xiàn)直線上升的兩種量之間的關(guān)系：一種量擴(kuò)大，另一種量也擴(kuò)大相同倍數(shù)。緊接著，筆者讓學(xué)生對這一類進(jìn)行聚類分析：即讓學(xué)生用表格、圖像、語言對“成正比例的量”進(jìn)行描述、刻畫，最后用“解析式”概括。經(jīng)由“過程抽象”，孩子們體驗(yàn)到兩種變量之間的相互依存關(guān)系，用不同方式(表格感受、圖像直觀、符號抽象)達(dá)成對“成正比例的量”的本質(zhì)理解。
4.“驗(yàn)證式”教學(xué)：開掘兒童數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”潛能
從邏輯角度看，數(shù)學(xué)是以演繹性、抽象性為主的一門學(xué)科，但從數(shù)學(xué)史和兒童心理角度看，數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和理解卻主要依賴于歸納，兒童的經(jīng)驗(yàn)依賴性尤為突出。教師要善于處理數(shù)學(xué)本體“超驗(yàn)性”與兒童認(rèn)知“經(jīng)驗(yàn)性”的關(guān)系。
教學(xué)“三角形內(nèi)角和”(蘇教版《數(shù)學(xué)》第八冊)，一位教師在引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形的角、邊、如何畫三角形、測量角等知識后，讓每個(gè)孩子畫出不同形狀的三角形，測量內(nèi)角度數(shù)并相加，然后匯報(bào)。孩子們的回答有“179度”、“181度”、“182度不到”等。在學(xué)生爭論不休時(shí)，教師又讓學(xué)生通過剪角、拼角等活動(dòng)試圖克服兒童經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)知，得出“角的度量有誤差”以及“三角形內(nèi)角和是180度”的結(jié)論。但依然有孩子質(zhì)疑，認(rèn)為剪拼過程中或許也會(huì)有誤差，或許三角形內(nèi)角和根本不是180度。面對超驗(yàn)性知識與經(jīng)驗(yàn)性探究間的矛盾，教師一籌莫展。其實(shí)對于超驗(yàn)性知識，教學(xué)中當(dāng)“演繹與歸納”結(jié)合。教學(xué)“三角形內(nèi)角和”，筆者首先讓孩子們猜想，從直覺上把握“三角形內(nèi)角和”。然后出示前人結(jié)論——三角形內(nèi)角和是180度。接著小組交流——用怎樣的辦法驗(yàn)證?怎樣驗(yàn)證?驗(yàn)證時(shí)要注意什么?通過小組合作，產(chǎn)生了各種方法(如測量求和法——量出三個(gè)角度數(shù)并求和，剪拼法——將三個(gè)角剪下來拼在一起，折拼法——將三個(gè)角折起來拼在一起，推理法——利用作平行線和直觀感知同位角、內(nèi)錯(cuò)角，鉛筆旋轉(zhuǎn)法——有孩子別出新意用鉛筆沿著三個(gè)角旋轉(zhuǎn)成平角)。最后全班交流，讓不同方法相互解釋、印證，并讓學(xué)生檢視數(shù)學(xué)活動(dòng)——諸如量角中的測量誤差、折角中的操作不當(dāng)?shù)?。由此豐富兒童的認(rèn)知策略，開掘兒童的“再創(chuàng)造”潛能!
數(shù)學(xué)教學(xué)哲學(xué)化實(shí)踐是哲學(xué)觀牽引下數(shù)學(xué)教育的自覺實(shí)踐。宏觀上，數(shù)學(xué)教育哲學(xué)吁求教師對數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教育價(jià)值觀進(jìn)行“哲學(xué)反思”和“哲學(xué)追問”;微觀上，數(shù)學(xué)教育哲學(xué)吁求教師對數(shù)學(xué)本體知識進(jìn)行“哲學(xué)考量”，從而讓教學(xué)內(nèi)蘊(yùn)“哲學(xué)氣質(zhì)”。唯如此，方能構(gòu)筑屬于教師自我的“數(shù)學(xué)教育哲學(xué)”!
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