什么是統(tǒng)計(jì)量_完全性分析
什么是統(tǒng)計(jì)量_完全性分析
統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)理論中用來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、檢驗(yàn)的變量。那么你對(duì)統(tǒng)計(jì)量了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是統(tǒng)計(jì)量的內(nèi)容，希望大家喜歡!
統(tǒng)計(jì)量的簡(jiǎn)介
樣本的已知函數(shù);其作用是把樣本中有關(guān)總體的信息匯集起來(lái);是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)重要的基本概念。統(tǒng)計(jì)量依賴(lài)且只依賴(lài)于樣本x1,x2,…xn;它不含總體分布的任何未知參數(shù)。從樣本推斷總體(見(jiàn)統(tǒng)計(jì)推斷)通常是通過(guò)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行的。例如x1,x2，…，xn是從正態(tài)總體N(μ,1)(見(jiàn)正態(tài)分布)中抽出的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中均值(見(jiàn)數(shù)學(xué)期望)μ是未知的，為了對(duì)μ作出推斷，計(jì)算樣本均值?？梢宰C明，在一定意義下，塣包含樣本中有關(guān)μ的全部信息，因而能對(duì)μ作出良好的推斷。這里只依賴(lài)于樣本x1,x2，…，xn，是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。
統(tǒng)計(jì)量的類(lèi)型
樣本矩
設(shè)x1,x2，…，xn是一個(gè)大小為n的樣本，對(duì)自然數(shù)k，分別稱(chēng) 為k階樣本原點(diǎn)矩和k階樣本中心矩，統(tǒng)稱(chēng)為樣本矩。許多最常用的統(tǒng)計(jì)量，都可由樣本矩構(gòu)造。例如，樣本均值(即α1)和樣本方差 是常用的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，前者反映總體中心位置的信息，后者反映總體分散情況。還有其他常用的統(tǒng)計(jì)量，如樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本變異系數(shù)S/塣，樣本偏度，樣本峰度等都是樣本矩的函數(shù)。若(x1,Y1)，(x2,Y2)，…，(xn,Yn)是從二維總體(x，Y)抽出的簡(jiǎn)單樣本，則樣本協(xié)方差·及樣本相關(guān)系數(shù) 也是常用的統(tǒng)計(jì)量，r可用于推斷x和Y的相關(guān)性。
次序統(tǒng)計(jì)量
把樣本X1,x2，…，xn由小到大排列，得到，稱(chēng)之為樣本x1,x2，…,xn的次序統(tǒng)計(jì)量。其中最小次序統(tǒng)計(jì)量x⑴最大次序統(tǒng)計(jì)量x(n)稱(chēng)為極值，在那些如年枯水量、年最大地震級(jí)數(shù)、材料的斷裂強(qiáng)度等的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中很有用。還有一些由次序統(tǒng)計(jì)量派生出來(lái)的有用的統(tǒng)計(jì)量，如：樣本中位數(shù) 是總體分布中心位置的一種度量，若樣本大小n為奇數(shù)，，若n為偶數(shù)，，它容易計(jì)算且有良好的穩(wěn)健性。樣本p分位數(shù)Zp(0<p<1)及極差x(n)-x⑴也是重要的統(tǒng)計(jì)量。其中Zp當(dāng)時(shí)即為中位數(shù)，而當(dāng)時(shí)，表示不超過(guò)1+np的最大整數(shù))。樣本分位數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用是構(gòu)造連續(xù)總體分布的非參數(shù)性容忍區(qū)間(見(jiàn)區(qū)間估計(jì))。
U統(tǒng)計(jì)量
這是W.霍夫丁于1948年引進(jìn)的，它在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。其定義是：設(shè)x1,x2，…，xn，為簡(jiǎn)單樣本，m為不超過(guò)n的自然數(shù)，為m元對(duì)稱(chēng)函數(shù)，則稱(chēng) 為樣本x1,x2，…，xn的以為核的U統(tǒng)計(jì)量。樣本均值和樣本方差都是它的特例。從霍夫丁開(kāi)始，這種統(tǒng)計(jì)量的大樣本性質(zhì)得到了深入的研究，主要應(yīng)用于構(gòu)造非參數(shù)性的量的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)(見(jiàn)點(diǎn)估計(jì))，并在這種估計(jì)的基礎(chǔ)上檢驗(yàn)非參數(shù)性總體中的有關(guān)假設(shè)。
秩統(tǒng)計(jì)量
把樣本X1，X2，…，Xn 按大小排列為，若 則稱(chēng)Ri為xi的秩，全部n個(gè)秩R1，R2，…，Rn構(gòu)成秩統(tǒng)計(jì)量，它的取值總是1,2，…，n的某個(gè)排列。秩統(tǒng)計(jì)量是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的一個(gè)主要工具。
還有一些統(tǒng)計(jì)量是因其與一定的統(tǒng)計(jì)方法的聯(lián)系而引進(jìn)的。如假設(shè)檢驗(yàn)中的似然比原則所導(dǎo)致的似然比統(tǒng)計(jì)量，K.皮爾森的擬合優(yōu)度(見(jiàn)假設(shè)檢驗(yàn))準(zhǔn)則所導(dǎo)致的Ⅹ統(tǒng)計(jì)量，線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型中的最小二乘法所導(dǎo)致的一系列線(xiàn)性與二次型統(tǒng)計(jì)量，等等。
統(tǒng)計(jì)量的完全性
統(tǒng)計(jì)量是由樣本加工而成的，在用統(tǒng)計(jì)量代替樣本作統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，樣本中所含的信息可能有所損失，如果在將樣本加工為統(tǒng)計(jì)量時(shí)，信息毫無(wú)損失，則稱(chēng)此統(tǒng)計(jì)量為充分統(tǒng)計(jì)量。例如，從一大批產(chǎn)品中依次抽出n個(gè)，若第i次抽出的是合格品，則xi=0，否則xi=1(i=1,2，…，n)。總體分布取決于整批產(chǎn)品的廢品率p，可以證明：統(tǒng)計(jì)量，即樣本中的廢品個(gè)數(shù)，包含了(x1，x2，…，xn)中有關(guān)p的全部信息，是一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量。若取m<n，令Tm(x1，，則Tm仍是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，不過(guò)不是充分的。
充分性是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要基本概念，它是R.A.費(fèi)希爾在1925年引進(jìn)的，費(fèi)希爾提出，并由J.奈曼和P.R.哈爾莫斯在1949年嚴(yán)格證明了一個(gè)判定統(tǒng)計(jì)量充分性的方法，叫因子分解定理。這個(gè)定理適用面廣且應(yīng)用方便，利用它可以驗(yàn)證很多常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量的充分性。例如，若正態(tài)總體有已知方差，則樣本均值塣是充分統(tǒng)計(jì)量。若正態(tài)總體的均值、方差都未知，則樣本均值和樣本方差S合起來(lái)構(gòu)成充分統(tǒng)計(jì)量(塣，S)。一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是否充分，與總體分布有密切關(guān)系。
將樣本加工成統(tǒng)計(jì)量要求越簡(jiǎn)單越好。簡(jiǎn)單的程度的大小，主要用統(tǒng)計(jì)量的維數(shù)來(lái)衡量。簡(jiǎn)單地講，若統(tǒng)計(jì)量T2是由統(tǒng)計(jì)量T1加工而來(lái)(即T2是T1的函數(shù))，則T2比T1簡(jiǎn)單。在此意義上，最簡(jiǎn)單的充分統(tǒng)計(jì)量叫極小充分統(tǒng)計(jì)量。這是E.L.萊曼和H.謝菲于1950年提出的。前例中的充分統(tǒng)計(jì)量都有極小性。在任何情況下，樣本x1,x2，…，xn本身就是一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量，但一般不是極小的。
關(guān)于統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)重要的基本概念是完全性。設(shè)T為一統(tǒng)計(jì)量，θ為總體分布參數(shù)，若對(duì)θ的任意函數(shù)g(θ)，基于T的無(wú)偏估計(jì)至多只有一個(gè)(以概率1相等的兩個(gè)估計(jì)量視為相同)，則稱(chēng)T為完全的。
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