初中數(shù)學(xué)一次方程、二次函數(shù)與不等式知識

時間：2022-12-24 05:36:33 惠敏4587由分享

初中數(shù)學(xué)一次方程、二次函數(shù)與不等式知識匯總

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初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)匯總

快來看啦!最近小數(shù)老師在留言里看到好多人要關(guān)于二次函數(shù)的知識點(diǎn)，所以今天特意做了一些總結(jié)，邊看邊學(xué)，效果更好哦!

定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c

(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]

交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)

Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)

V.二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c，

當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax^2+bx+c=0

此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1.二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表：

當(dāng)h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.

當(dāng)h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小;當(dāng)x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當(dāng)x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大;當(dāng)x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小.

4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c);

(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|

當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個交點(diǎn);

當(dāng)△<0.圖象與x軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時，都有y>0;當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時，都有y<0.

5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.

6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點(diǎn)或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0).

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).

初中數(shù)學(xué)一次方程與不等式知識匯總

等式與方程

1、等式：用等號把兩個值相等的量或式子連接起來得到的式子稱為等式。

2、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

注意：

(1)等式中必須含有等號，故不含等號的式子就不是等式;

(2)方程必須是等式，并且含有未知數(shù)，兩個條件須同時具備;

(3)方程中可以含有幾個未知數(shù)。

例題1、下列式子中，哪些是等式?哪些是方程?

(1)?1+7=6

(2)x+7=6

(3) x+7

(4)x+7=7?x

(5)4+7=7十4

(6)y3=1

(7)4x+y=7

方程中的項(xiàng)、系數(shù)、次數(shù)等概念

1、項(xiàng)：在方程中，被“+”、“-”，號隔開的每一部分(包括這部分前面的“十”、“-”號在內(nèi))稱為一項(xiàng)。

2、未知數(shù)的系數(shù)：在一項(xiàng)中，寫在未知數(shù)前面的數(shù)字或表示已知數(shù)的字母叫做未知數(shù)的系數(shù)。

3、項(xiàng)的次數(shù)：在一項(xiàng)中，所有未知數(shù)的指數(shù)和稱為這一項(xiàng)的次數(shù)。

4、常數(shù)項(xiàng)：不含未知數(shù)的項(xiàng)，稱為常數(shù)項(xiàng)。

列方程的方法

1、列方程：為了求得未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立一種等量關(guān)系，就是列方程。

2、列方程可分兩步進(jìn)行：第一步先根據(jù)題設(shè)條件設(shè)未知數(shù);第二步要找到未知數(shù)和已知數(shù)之間的等量關(guān)系，從而得到方程。

例題2、根據(jù)條件列方程：

(1)某數(shù)的平方與它的4倍互為相反數(shù)

(2)某數(shù)的相反數(shù)與8的差等于這個數(shù)的倒數(shù)

(3)購買一本書，打八折比打九折少花2元錢，求這本書的原價

例題3、根據(jù)下列條件列出方程：

(1)a與6兩數(shù)和的平方等于1

(2)a與6兩數(shù)平方的和等于1

方程的解和解方程

方程的解：使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解

解方程：求方程的解的過程叫做解方程

注意：

(1)方程的解一定能使方程左右兩邊的值相等;

(2)方程的解和解方程是兩個不同的概念，它們一個是求得的結(jié)果，一個是變形的過程，要區(qū)別開，方程的解中的“解”是名詞，解方程概念中“解”是一個動詞。

一元一次方程的概念

1、概念：在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫一元一次方程。如：x+7=7?x

2、一元一次方程的最簡形式：ax=b(a≠0)

3、一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式: ax+b=0(a≠0)

注意：理解一元一次方程的概念應(yīng)把握：

(1)是一個方程;

(2)只含有一個未知數(shù);

(3)未知數(shù)的次數(shù)是1;

(4)化簡后未知數(shù)的系數(shù)不能為0;

(5)分母不能含有未知數(shù)。

等式基本性質(zhì)

1：等式兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)或同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。

2：等式兩邊同時乘以同一個數(shù)(或除以同一個不為零的數(shù))，所得結(jié)果仍是等式。

注意：

(1)運(yùn)用等式基本性質(zhì)1時，一定要注意等式兩邊同時加上<或減去)同一個數(shù)或同一個代數(shù)式，才能保證所得結(jié)果仍是等式，這里要特別注意“同時”和“同一個”;

(2)運(yùn)用等式基本性質(zhì)2時，除了要注意等式兩邊同時乘以(或除以)同一個數(shù)，才能保證所得結(jié)果仍是等式以外，還必須注意，等式兩邊不能都除以O(shè)，因?yàn)?不能作除數(shù)或分母;

(3)等式還有其他的一些性質(zhì)，在解方程中也時常會用到，它們是：對稱性：如果a=b，那么b=a.即等式的左、右兩邊交換位置，所得結(jié)果仍是等式。

傳遞性：如果a=b，且b=c，那么a=c。這條性質(zhì)也叫做等量代換。

利用等式的基本性質(zhì)解一元一次方程

1、求方程的解的過程叫做解方程

2、具體步驟如下：

(1)利用等式的性質(zhì)解一元一次方程，一般是先利用等式性質(zhì)1，然后再利用等式性質(zhì)2，將ax=?b變形為x=?ba即可。

(2)移項(xiàng)法則：方程中的任何一項(xiàng)，都可以在改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項(xiàng)，這個法則稱為移項(xiàng)法則，移項(xiàng)的根據(jù)是等式的基本性質(zhì)1。

注意：

(1)移項(xiàng)時，不要忘記對移動的項(xiàng)變號，如從3+4x=7得到4x= 7+3，是錯誤的;

(2)沒移項(xiàng)時，不要誤以為有移項(xiàng)，如從?5=x，得到x= 5，這樣的錯誤其原因在于對運(yùn)用用等式的性質(zhì)與移項(xiàng)的區(qū)別沒有分清;

(3)去括號的方法：括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項(xiàng)的符號不變，括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后各項(xiàng)符號應(yīng)變號;

(4)去分母：要去分母，我們首先要找準(zhǔn)方程中的各分母，然后再利用等式性質(zhì)2，在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，即可達(dá)到去分母的目的。

初中函數(shù)有哪些

一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，三角函數(shù)

一次函數(shù)：在某一個變化過程中，設(shè)有兩個變量x和y，如果對于x的每一個確定的值，在y中都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說y是x的函數(shù)，也就是說x是自變量，y是因變量。表示為y=kx+b（k≠0，k、b均為常數(shù)），當(dāng)b=0時稱y為x的正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)中的特殊情況?？杀硎緸閥=kx，常數(shù)k叫做比例系數(shù)。

二次函數(shù)：一般的，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函數(shù)叫二次函數(shù)。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）.右邊是整式，且自變量的最高次數(shù)是2。

反比例函數(shù)：函數(shù)y=k/x（k為常數(shù)，x不等于0）叫做反比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)，x是自變量，y是函數(shù)值自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。

三角函數(shù)：正弦函數(shù)=對邊/斜邊正切函數(shù)=對邊/鄰邊余弦函數(shù)=鄰邊/斜邊

初中數(shù)學(xué)差怎么補(bǔ)救

1.課前預(yù)習(xí)。課前先看看書，看你能夠理解多少，尤其是有些涉及到前面的知識，如果不懂就可以叫老師協(xié)助。

2.課中認(rèn)真。認(rèn)真有兩個層面：

（1）認(rèn)真聆聽老師的講解，弄清楚前面預(yù)習(xí)時不懂之處；

（2）利用課堂練習(xí)檢驗(yàn)自己是否弄明白了，尤其要關(guān)注做得不對的地方，把它圈起來，弄明白為什么錯。

3.課后鞏固。

（1）說課講課，說說今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容并進(jìn)行梳理；再次回顧做錯的地方；

（2）著眼基礎(chǔ)進(jìn)行練習(xí)，適當(dāng)多點(diǎn)以達(dá)到鞏固的目的。

（3）著眼提高適當(dāng)進(jìn)行少量的較難的練習(xí)，促進(jìn)自己的靈活運(yùn)用能力。