淺談高中數(shù)學零點問題
淺談高中數(shù)學零點問題
函數(shù)的零點是考綱上要求的基本內容，也是高中新課程標準新增內容之一，是函數(shù)的重要性質。接下來學習啦小編為你整理了淺談高中數(shù)學零點問題，一起來看看吧。
淺談高中數(shù)學零點問題篇一
一、求函數(shù)的零點
例1求函數(shù)y=x2-(x<0)2x-1(x≥0)的零點。
解：令x2-1=0(x<0)，解得x=1，
2x-1=0(x≥0)，解得x=。
所以原函數(shù)的零點為和-1和。
點評：求函數(shù)f(x)的零點，轉化為方程f(x)=0，通過因式分解把方程轉化為一(二)次方程求解。
二、判斷函數(shù)零點個數(shù)
例2求f(x)=x-的零點個數(shù)。
解：函數(shù)的定義域(-∞，0)∪(0，+∞)。
令f(x)=0即x-=0，
解得：x=2或x=-2。
所以原函數(shù)有2個零點。
點評：轉化為方程直接求出函數(shù)零點，注意函數(shù)的定義域。
三、根據(jù)函數(shù)零點反求參數(shù)
例3若方程ax-x-a=0有兩個解,求a的取值范圍。
析：方程ax-x-a=0轉化為ax=x+a。
由題知，方程ax-x-a=0有兩個不同的實數(shù)解，即函數(shù)y=ax與y=a+x 有兩個不同的交點，如圖所示。
(1)0此種情況不符合題意。
(2)a>1。
直線y=x+a 在y軸上的截距大于1時，函數(shù)y=ax與函數(shù)y=a+x 有兩個不同的交點。
所以a<0與0 點評：采用分類討論與用數(shù)形結合的思想。
四、用二分法近似求解零點
例4求函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數(shù)零點(精確到0.1)。
解：(1)第一步確定零點所在的大致區(qū)間(a，b)，可利用函數(shù)性質，也可借助計算機，但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間，并盡量縮短區(qū)間長度，通?？纱_定一個長度為1的區(qū)間。
(2)列表如下：
零點所在區(qū)間中點函數(shù)值 區(qū)間長度
(1，2)f(1.5) >0 1
(1，1.5) f(1.25) <00.5
(1.25,1.5) f(1.375) <00.25
(1.375,1.5) f(1.438)>0 0.125
(1.375,1.438) f(1.4065)>0 0.0625
可知區(qū)間(1.375，1.438)長度小于0.1，故可在(1.375，1.438)內取1.4065作為函數(shù)f(x)正數(shù)的零點的近似值。
點評：用二分法求函數(shù)零點近似值的過程中，首先依據(jù)函數(shù)性質確定函數(shù)零點存在的一個區(qū)間，此區(qū)間選取應盡量小，并且易于計算，再不斷取區(qū)間中點，把區(qū)間的范圍逐步縮小，使得在縮小的區(qū)間內存在一零點。當達到精確度時，這個區(qū)間內的任何一個值均可作為函數(shù)的零點。
淺談高中數(shù)學零點問題篇二
函數(shù)的零點是溝通函數(shù)、方程、圖像的一個重要媒介，滲透著等價轉化、化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法，是一個考察學生綜合素質的很好知識點.近幾年的數(shù)學高考中頻頻出現(xiàn)零點問題，其形式逐漸多樣化，但都離不開這幾種常用的等價關系：函數(shù)y=f(x)有零點?圳方程f(x)=0有實數(shù)根?圳函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點.也可拓展為：函數(shù)y=F(x)=f(x)-g(x)有零點?圳方程組y■=f(x)y■=g(x)有實數(shù)根?圳函數(shù)y1=f(x)與函數(shù)y2=g(x)的圖像有交點.
圍繞它們之間的關系，就高考中的一些典型題型加以剖析：
類型一：函數(shù)零點的分布
解決零點的分布問題，主要依據(jù)零點的存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)・f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點.而零點的個數(shù)還需結合函數(shù)的圖像和性質，尤其是函數(shù)的單調性才能確定.
例1：(2013高考數(shù)學重慶卷)若a A.(a，b)和(b，c)內
B.(-∞，a)和(a，b)內
C.(b，c)和(c，+∞)內
D.(-∞，a)和(c，+∞)內
解析：由題意a0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0.顯然f(a)・f(b)<0，f(b)・f(c)<0，所以該函數(shù)在(a，b)和(b，c)上均有零點，故選A.
變式：(高考廣東卷、高考山東卷)若函數(shù)為f(x)為奇函數(shù)，當x<0時，f(x)=-lg(-x)+x+3，已知f(x)=0有一個根為x0，且x0∈(n，n+1)，n∈N*，則n的值為________.
解析：由題意，設x>0，則-x<0，f(-x)=-lgx-x+3=-f(x)，所以當x>0時，f(x)=lgx+x-3在(0，+∞)上是增函數(shù)，f(2)<0，f(3)>0，所以x0∈(2，3)，則n=2.
類型二：函數(shù)零點的個數(shù)
判斷函數(shù)零點個數(shù)可利用定義法，即令f(x)=0，則該方程的解即為函數(shù)的零點，方程解的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù);也可根據(jù)幾何法，將函數(shù)的零點問題轉化為兩個函數(shù)圖像的交點問題來解決.
例2：(2012高考數(shù)學湖北卷)函數(shù)f(x)=xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點個數(shù)為( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析：定義法，令f(x)=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個解，因此函數(shù)f(x)=xcosx2在區(qū)間[0，4]上有6個零點，故選C.
類型三：利用函數(shù)零點求參數(shù)
在高考中，除了要我們求函數(shù)的零點個數(shù)外，還常出現(xiàn)一種題型就是：先給出函數(shù)的零點個數(shù)，再來解決其他問題(如求參數(shù)).要解決此類問題常根據(jù)函數(shù)y=F(x)=f(x)-g(x)有零點?圳方程組y■=f(x)y■=g(x)有實數(shù)根?圳函數(shù)y1=f(x)與y2=g(x)函數(shù)的圖像有交點.
例3：(2009高考數(shù)學山東卷)若函數(shù) f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .
解析：我們可將上述函數(shù)的零點轉換成兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題，根據(jù)例3的幾何法：
1.構造函數(shù).設函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)和函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有兩個零點， 就是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y=x+a有兩個交點.
2.通過圖像描繪題意――將數(shù)轉化成形.
3.由圖像得出結論――將形轉化成數(shù).
當時0 當時a>1(如圖2)，因為函數(shù)y=ax(a>1)的圖像過點(0，1)，而直線y=x+a所過的點(0，a)在點(0，1)的上方，此時兩函數(shù)有兩個交點.所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}.
上述各例子剖析了近幾年數(shù)學高考中函數(shù)零點問題的典型題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，利用數(shù)學的轉化與化歸、數(shù)形結合等思想，函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點問題看成方程根的個數(shù)或者函數(shù)圖像y=f(x)、y=g(x)的交點個數(shù)問題，使得復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，難解的問題轉化為易解的問題，未解決的問題轉化為已解決的問題.