數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

　　數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用非常廣泛,在實(shí)際的教學(xué)研究中也得到了很大的重視　接下來(lái)學(xué)習(xí)啦小編為你整理了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，一起來(lái)看看吧。

　　數(shù)學(xué)歸納法的原理

　　數(shù)學(xué)歸納法是一種研究與自然數(shù)有關(guān)的證明，它可以巧妙的證明結(jié)果含有n的結(jié)論。它避免了無(wú)窮次的步驟推導(dǎo)引起的邏輯問(wèn)題，是一種嚴(yán)格的演繹推理，所以它與普通的歸納法有著很大的區(qū)別。已知最早的使用數(shù)學(xué)歸納法的證明出現(xiàn)于F·莫羅利科(Francesco Maurolico)的《算數(shù)》(Arithmeticorum libri duo)(1575AD)。莫羅利科利用遞推關(guān)系巧妙地證明出前n個(gè)奇數(shù)的總和是n^2，由此總結(jié)出了數(shù)學(xué)歸納法。

　　數(shù)學(xué)歸納法最基本格式為：(1)n= n0時(shí)，成立。(2)假設(shè)n= k時(shí)成立，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。于是根據(jù)(1)(2)可知命題對(duì)于任意n成立。舉個(gè)例子，就像一排多米諾骨牌(這個(gè)例子很經(jīng)典形象)，我們知道第一個(gè)被推倒了，我們也知道每一個(gè)與之相鄰的下一個(gè)骨牌要倒，那么你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。

　　如：證1+2+3+„+n=n*(n+1)/2 。按順序1.當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。2.假設(shè)n=k時(shí)成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，S= k*(k+1)/2+(k+1) = (k+2) (k+1)/2. 于是結(jié)果成立。

　　數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

　　1. 所有馬都一個(gè)顏色。(即任意n匹馬都只有一個(gè)顏色)

　　證：當(dāng)只有1匹馬，命題成立。假設(shè)任意k匹馬都只有一個(gè)顏色，當(dāng)n=k+1時(shí)，我從中任意挑取k匹馬，這k匹馬顏色相同;我再用剩下的那只馬去換掉這群馬中的任意一只，組成新的馬群，依然有k匹馬，顏色還是相同;根據(jù)集合交并原理，可知k+1時(shí)也成立。證畢。

　　原來(lái)真的所有馬都一種顏色嗎?怎么可能!現(xiàn)在，我們來(lái)分析一下究竟是哪里出的錯(cuò)。我們可以看到，在第二步，當(dāng)k=1時(shí)，兩匹馬不能出現(xiàn)交集，不能推出k=2時(shí)成立。這個(gè)證明鏈在第二節(jié)斷掉了，雖然后面是連著的，但卻推不出正確結(jié)論了。所以這提示我們，即使前面第一步證明了n=1成立，第二步依然要保證n=k對(duì)任意所涉及的數(shù)也成立，包括1.

　　2.n人一人一頂帽子，有m頂白帽子，其余都是黑帽子。每次敲鐘，都要求所有能判斷自己為白帽子的人離開(kāi)。正在這n個(gè)無(wú)聊的人苦苦思索的時(shí)候，突然來(lái)了一個(gè)人，說(shuō)：“這里居然有人帶白帽子!”，然后飄走了。黑帽子的人很想說(shuō)“廢話!”，卻發(fā)現(xiàn)過(guò)了一會(huì)所有白帽子的人都走了(他們判斷出自己的帽子顏色了)，這是怎么回事?

　　好吧，我們還是用數(shù)學(xué)歸納法做一做：

　　命題1：我們假設(shè)只有1人白帽子，他發(fā)現(xiàn)所有人都戴黑帽子，當(dāng)飄走的那個(gè)人說(shuō)完話后，他可以立刻知道自己是白的。于是第1聲鐘響后這1個(gè)白帽可確認(rèn)。

　　命題2：假設(shè)只有2個(gè)人白，其中一個(gè)人發(fā)現(xiàn)有只有1個(gè)人白帽，如果命題1成立，即只有他是白帽，他應(yīng)該鐘響1下后立刻離開(kāi)，可他不走。所以說(shuō)明命題1不成立，一定有2個(gè)白帽——自己和他!于是第2聲鐘響后這2個(gè)白帽可確認(rèn)。

　　假設(shè)命題k成立，命題n=k+1時(shí)，假設(shè)只有k+1個(gè)白帽，其中一人發(fā)現(xiàn)：有k個(gè)白帽，如果是命題k，他們?cè)诘趉聲鐘響后應(yīng)該全部離開(kāi)，可是沒(méi)走，所以一定自己是白帽子讓他們不能判斷。于是在第k+1聲鐘響后，k+1白帽可全部確認(rèn)離開(kāi)。結(jié)論成立。

　　所以，那句廢話雖然對(duì)黑帽子沒(méi)有，但對(duì)白帽子而言是卻是歸納法的第一塊多米諾骨牌。

　　3.在《不可思議?》這本書(shū)里還有一個(gè)更那啥的題，經(jīng)改編如下：有一個(gè)殺人狂把兩個(gè)人分別關(guān)在兩個(gè)密室，分別告訴他們兩個(gè)相鄰正自然數(shù)，兩個(gè)人雖然知道數(shù)字相鄰，卻不知道對(duì)方的數(shù)。計(jì)時(shí)開(kāi)始后，每分鐘他們都有一次機(jī)會(huì)選擇確認(rèn)按鈕，確認(rèn)的消息可以被雙方聽(tīng)見(jiàn)。只有知道另一方數(shù)字是多少的人才能出去?？炜欤吩谀睦?

　　這看起來(lái)好像無(wú)解，假如我知道自己的數(shù)是27，怎么判斷對(duì)方究竟是26還是28，難道出去的概率是50%?

　　不，概率是100%，唯一的生路在那個(gè)每分鐘一次確認(rèn)按鈕上(且確認(rèn)消息可通知雙方)。當(dāng)A的數(shù)是1，則在第1分鐘便可知道B的數(shù)是2(因?yàn)椴皇?)。當(dāng)A的數(shù)是2，則有兩種情況，B是1或3，如果是1，B在第一分鐘會(huì)確認(rèn)，如果B沒(méi)確認(rèn)，則B是3。所以假設(shè)當(dāng)A為k時(shí)，A會(huì)在第k分鐘推理出B的數(shù)字，則當(dāng)A=k+1時(shí)，如果第k分鐘B沒(méi)有動(dòng)靜，則可以判斷B的數(shù)不是k，而是k+2，所以在下一分鐘即k+1分鐘時(shí)A推理出數(shù)字，結(jié)論成立。