2016年小升初奧數(shù)必備知識點與長方體和正方體
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小學五年級奧數(shù)知識點：長方體和正方體
專題簡析
在數(shù)學競賽中，有許多有關(guān)長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點：
1，必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來;
2，依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化;
3，求一些不規(guī)則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。
例題1 一個零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米?表面積是多少平方厘米?(單位：厘米)
分析 (1)可以把零件沿虛線分成兩部分來求它的體積，左邊的長方體體積是10×4×2=80(立方厘米)，右邊的長方體的體積是10×(6-2)×2=80(立方厘米)，整個零件的體積是80×2=160(立方厘米);(2)求這個零件的表面積，看起來比較復(fù)雜，其實，朝上的兩個面的面積和正好與朝下的一個面的面積相等;朝右的兩個面的面積和正好與朝左的一個面的面積相等。因此，此零件的表面積就是(10×6+10×4+2×2)×2=232(平方厘米)。
想一想：你還能用別的方法來計算它的體積嗎?
練習一
1，一個長5厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體，被切去一塊后(如圖)，剩下部分的表面積和體積各是多少?
2，把一根長2米的長方體木料鋸成1米長的兩段，表面積增加了2平方分米，求這根木料原來的體積。
3，有一個長8厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個正方體(如圖)，求切掉正方體后的表面積和體積各是多少?
例題2 有一個長方體形狀的零件，中間挖去一個正方體的孔(如圖)，你能算出它的體積和表面積嗎?(單位：厘米)
分析 (1)先求出長方體的體積，8×5×6=240(立方厘米)，由于挖去了一個孔，所以體積減少了2×2×2=8(立方厘米)，這個零件的體積是240-8=232(立方厘米);
(2)長方體完整的表面積是(8×5+8×6+6×5)×2=236(平方厘米)，但由于挖去了一個孔，它的表面積減少了一個(2×2)平方厘米的面，同時又增加了凹進去的5個(2×2)平方厘米的面，因此，這個零件的表面積是236+2×2×4=252(平方厘米)。
2016年小升初奧數(shù)必備知識點
1、年齡問題的三大特征
?、賰蓚€人的年齡差是不變的;
?、趦蓚€人的年齡是同時增加或者同時減少的;
?、蹆蓚€人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的;
2、雞兔同籠問題
基本概念：
雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來;
基本思路：
?、俨捎眉僭O(shè)法，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣)：
?、诩僭O(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少;
③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因;
?、茉俑鶕?jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。
基本公式：
?、侔阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))
②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=(總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)一雞腳數(shù))
關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。
3、植樹問題總結(jié)
基本類型：
在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹。
4、牛吃草問題
基本思路：
假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。
基本公式：
生長量=(較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù))÷(長時間-短時間);
總草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量;
基本特點：原草量和新草生長速度是不變的;
關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量。
5、平均數(shù)問題
基本公式：
?、倨骄鶖?shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)
總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)
總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)
?、谄骄鶖?shù)=基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和÷總份數(shù)
基本算法：
算出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①或②進行計算。
(基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準數(shù);一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù);以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差;再求出所有差的和;再求出這些差的平均數(shù);最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②)
6、盈虧問題
基本概念：
一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果。按照另一種標準分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊?/p>
基本思路：
先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量。
基本題型：
?、僖淮斡杏鄶?shù)，另一次不足;
基本公式：總份數(shù)=(余數(shù)+不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
?、诋攦纱味加杏鄶?shù);
基本公式：總份數(shù)=(較大余數(shù)一較小余數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
③當兩次都不足;
基本公式：總份數(shù)=(較大不足數(shù)一較小不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。
關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。
7、周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律
周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。
周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。
關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。
閏年：一年有366天
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除;
平年：一年有365天
?、倌攴莶荒鼙?整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;
8、抽屜原理
抽屜原則一：
如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。
例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。
抽屜原則二：
如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有:
①k=[n/m ]+1個物體：當n不能被m整除時。
?、趉=n/m個物體：當n能被m整除時。
理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行運算。
9、加法乘法原理和幾何計數(shù)
加法原理：
如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+m2....... +mn種不同的方法。
關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法。
基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。
乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2....... ×mn種不同的方法。
關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。
基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。
直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。
特點：沒有端點，沒有長度。
線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。
特點：有兩個端點，有長度。
射線：把直線的一端無限延長。
特點：只有一個端點;沒有長度。
?、贁?shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+(點數(shù)一1);
?、跀?shù)角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數(shù)一1);
③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：
?、軘?shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)
10、定義新運算
數(shù)列求和
等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。
基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示;
項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示;
公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示;
通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示;
數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.
基本思路：
等差數(shù)列中涉及五個量：a1 ,an,d, n, sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個;求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。
基本公式：通項公式：an = a1+(n-1)d;
通項=首項+(項數(shù)一1) ×公差;
數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2;
數(shù)列和=(首項+末項)×項數(shù)÷2;
項數(shù)公式：n= (an- a1)÷d+1;
項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1;
公差公式：d =(an-a1))÷(n-1);
公差=(末項-首項)÷(項數(shù)-1);
關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式