九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷
九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷
經(jīng)歷了九年級一學(xué)期的努力奮戰(zhàn)，檢驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果的時刻就要到了，教師們要為同學(xué)們準(zhǔn)備哪些期末考試卷來練習(xí)呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷：
一、選擇題(共8小題，每小題3分，滿分24分，每小題只有一個選項是正確的)
1.二次函數(shù)y=﹣x2+2x+2的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(0，2) B.(0，3) C.(2，0) D.(3，0)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】令x=0，求出y的值，然后寫出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【解答】解：x=0時，y=2，
所以.圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，2).
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解方法是解題的關(guān)鍵.
2.已知數(shù)據(jù)：8，9，7，9，7，8，8.則這組數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是( )
A.中位數(shù)是9 B.眾數(shù)是9 C.眾數(shù)是7 D.平均數(shù)是8
【考點(diǎn)】眾數(shù);加權(quán)平均數(shù);中位數(shù).
【分析】分別根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、極差、中位數(shù)的定義解答.
【解答】解：A、將改組數(shù)據(jù)從小到大排列：7，7，8，8，8，9，9，處于中間位置的數(shù)為8，中位數(shù)為8，故本選項錯誤;
B、8出現(xiàn)了3次，在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多，是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，故本選項錯誤;
C、8出現(xiàn)了3次，在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多，是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，故本選項錯誤;
D、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 = (8+9+7+9+7+8+8)=8，故本選項正確.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，知道各統(tǒng)計量是解題的關(guān)鍵.
3.下列各組圖形不一定相似的是( )
A.兩個等邊三角形
B.各有一個角是100°的兩個等腰三角形
C.兩個正方形
D.各有一個角是45°的兩個等腰三角形
【考點(diǎn)】相似圖形.
【專題】常規(guī)題型.
【分析】根據(jù)相似圖形的定義，以及等邊三角形，等腰三角形，正方形的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解：A、兩個等邊三角形，對應(yīng)邊的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似;
B、各有一個角是100°的兩個等腰三角形，100°的角只能是頂角，夾頂角的兩邊成比例，所以一定相似;
C、兩個正方形，對應(yīng)邊的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似;
D、各有一個角是45°的兩個等腰三角形，若一個等腰三角形的底角是45°，而另一個等腰三角形的頂角是45°，則兩個三角形一定不相似.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了相似圖形的判斷，嚴(yán)格按照定義，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等進(jìn)行判斷即可，另外，熟悉等腰三角形，等邊三角形，正方形的性質(zhì)對解題也很關(guān)鍵.
4.在△ABC中，DE∥BC，若AD：AB=1：3，則△ADE與△ABC的面積之比是( )
A.1：3 B.1：4 C.1：9 D.1：16
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】計算題.
【分析】由DE與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到兩對角相等，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ADE與三角形ABC相似，利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得到結(jié)果.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=AD2：AB2=1：9.
故選C
【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
5.正方形ABCD的四個頂點(diǎn)分別在⊙O上，點(diǎn)P在 上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
【考點(diǎn)】圓周角定理.
【分析】首先連接OB，OC，由正方形ABCD的四個頂點(diǎn)分別在⊙O上，可得∠BOC=90°，然后由圓周角定理，即可求得∠BPC的度數(shù).
【解答】解：連接OB，OC，
∵正方形ABCD的四個頂點(diǎn)分別在⊙O上，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC= ∠BOC=45°.
故選A.
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理以及圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
6.△ABC中，P為AB上的一點(diǎn)，在下列四個條件中：①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP•AB;④AB•CP=AP•CB，能滿足△APC和△ACB相似的條件是( )
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可對①②進(jìn)行判斷;根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可對③④進(jìn)行判斷.
【解答】解：當(dāng)∠ACP=∠B，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB;
當(dāng)∠APC=∠ACB，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB;
當(dāng)AC2=AP•AB，
即AC：AB=AP：AC，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB;
當(dāng)AB•CP=AP•CB，即 = ，
而∠PAC=∠CAB，
所以不能判斷△APC和△ACB相似.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.
7.如果給定數(shù)組中每一個數(shù)都加上同一個非零常數(shù)，則數(shù)據(jù)的( )
A.平均數(shù)不變，方差不變 B.平均數(shù)改變，方差改變
C.平均數(shù)改變，方差不變 D.平均數(shù)不變，方差改變
【考點(diǎn)】方差;算術(shù)平均數(shù).
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的特點(diǎn)，一組數(shù)都加上或減去同一個非零的常數(shù)后，方差不變，平均數(shù)改變，即可得出答案.
【解答】解：一組數(shù)都加上同一個非零常數(shù)后，平均數(shù)變大，
一組數(shù)都減去同一個非零常數(shù)后，平均數(shù)變小，
則一組數(shù)都加上或減去同一個非零的常數(shù)后，平均數(shù)改變，但是方差不變;
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查了方差和平均數(shù)，一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為 ，則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.掌握平均數(shù)和方差的特點(diǎn)是本題的關(guān)鍵.
8.二次函數(shù)y=﹣ x2+ x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在該拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，連接BC、BD，設(shè)∠OCB=α，∠DBC=β，則cos(α﹣β)的值是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】延長BD交y軸于P，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠OPB=α﹣β，解方程﹣ x2+ x+3=0，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)和點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，求出OP的長，根據(jù)勾股定理求出PB的長，根據(jù)余弦的概念解答即可.
【解答】解：延長BD交y軸于P，
∵∠OCB=α，∠DBC=β，
∴∠OPB=α﹣β，
﹣ x2+ x+3=0，
解得，x1=﹣1.2，x2=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1.2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，
x=0時，y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，
∵點(diǎn)D在該拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4)，
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
則 ，
解得， ，
∴直線BD的解析式為：y=﹣2x+8，
∴OP=8，
PB= =4 ，
∴cos(α﹣β)=cos∠OPB= = ，
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)的求法，正確運(yùn)用一元二次方程的解法求出拋物線與x軸的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，解答時，注意三角形的外角的性質(zhì)的應(yīng)用.
二、填空題(共10小題，每小題3分，滿分30分)
9.若3a=4b，則a：b=4：3.
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，若3a=4b，則可直接得出a：b的值.
【解答】解：∵3a=4b，∴ = .∴a：b=4;3.
【點(diǎn)評】考查了比例的基本性質(zhì)：比例式和等積式的互相轉(zhuǎn)換.
10.如果 ，那么銳角A的度數(shù)為30°.
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)30°角的余弦值等于 解答.
【解答】解：∵cosA= ，
∴銳角A的度數(shù)為30°.
故答案為：30°.
【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°、45°、60°的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.
11.若兩個相似三角形對應(yīng)中線的比是2：3，它們的周長之和為15，則較小的三角形周長為6.
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】利用相似三角形的周長比等于相似比，根據(jù)它們的周長之和為15，即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵兩個相似三角形的對應(yīng)中線的比為2：3，
∴它們的周長比為2：3，
∵它們的周長之和為15，
∴較小的三角形周長為15× =6.
故答案為：6.
【點(diǎn)評】本題考查對相似三角形性質(zhì)(1)相似三角形周長的比等于相似比;(2)相似三角形面積的比等于相似比的平方;(3)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
12.已知圓錐的母線長是5cm，側(cè)面積是15πcm2，則這個圓錐底面圓的半徑是3cm.
【考點(diǎn)】圓錐的計算.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積和圓錐的母線長求得圓錐的弧長，利用圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長求得圓錐的底面半徑即可.
【解答】解：∵圓錐的母線長是5cm，側(cè)面積是15πcm2，
∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為：l= = =6π，
∵錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長，
∴r= = =3cm，
故答案為：3.
【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是正確地進(jìn)行圓錐與扇形的轉(zhuǎn)化.
13.在同一時刻木桿AB、建筑物PQ在太陽光下的影子分別為BC、PM，如圖所示.已知AB=2m，BC=1.2m，PM=4.8m，則建筑物PQ的高度為8m.
【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用;平行投影.
【分析】利用相同時刻物體在太陽光下的影子與物體高度成正比，進(jìn)而求出答案.
【解答】解：∵在同一時刻木桿AB、建筑物PQ在太陽光下的影子分別為BC、PM，
如圖所示.AB=2m，BC=1.2m，PM=4.8m，
∴ = ，
則 = ，
解得：PQ=8，
故答案為：8.
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用;在運(yùn)用相似三角形的知識解決實際問題時，要能夠從實際問題中抽象出簡單的數(shù)學(xué)模型是解決問題的關(guān)鍵.
14.某山坡的坡度為1：0.75，則沿著這條山坡每前進(jìn)l00m所上升的高度為80m.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
【分析】設(shè)出垂直高度，表示出水平寬度，利用勾股定理求解即可.
【解答】解：如圖所示：
AB=100m，tanB=1：0.75.
則AC：BC=4：3，
設(shè)AC=4x，BC=3x，
由勾股定理得：AB= =5x，
即5x=100，
解得：x=20，
則AC=80m.
故答案為：80.
【點(diǎn)評】此題主要考查坡度坡角的定義、勾股定理的運(yùn)用;理解坡度坡角的定義，由勾股定理得出AB是解決問題的關(guān)鍵.
15.矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，P是位似中心，點(diǎn)B(4，2)，E(﹣2，1)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4，0).
【考點(diǎn)】位似變換;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合已知點(diǎn)的坐標(biāo)得出 = ，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解：∵矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，P是位似中心，點(diǎn)B(4，2)，E(﹣2，1)，
∴D(0，1)，B(4，2)，
∴ = ，
則 = ，
解得：OP=4，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(﹣4，0).
故答案為：(﹣4，0).
【點(diǎn)評】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，注意：兩個圖形必須是相似形;對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn);對應(yīng)邊平行.
16.一個橫斷面為拋物線形的拱橋，當(dāng)水面寬4m時，拱頂離水面2m.以橋孔的最高點(diǎn)為原點(diǎn)，過原點(diǎn)的水平線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.當(dāng)水面下降1m時，此時水面的寬度增加了2 ﹣4m(結(jié)果保留根號).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)已知給出的直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再通過把y=﹣3代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案.
【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2，
∵水面寬4m時，拱頂離水面2m，
∴點(diǎn)(2，﹣2)在此拋物線上，
∴﹣2=a•22，
∴a=﹣ ，
∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2，
當(dāng)水面下降1m時，
即y=﹣3時，﹣3=﹣ x2，
∴x= ，
∴此時水面的寬度為：2 ，
即此時水面的寬度增加了(2 ﹣4)m.
故答案為：2 ﹣4.
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知給出的直角坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵.
17.某同學(xué)用描點(diǎn)法y=ax2+bx+c的圖象時，列出了表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的y值是﹣5.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)關(guān)于對稱軸對稱的自變量對應(yīng)的函數(shù)值相等，可得答案.
【解答】解：由函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱，得(﹣1，﹣2)，(0，1)，(1，﹣2)在函數(shù)圖象上，
把(﹣1，﹣2)，(0，1)，(1，﹣2)代入函數(shù)解析式，得
，
解得 .
故函數(shù)解析式為y=﹣3x2+1.
x=2時y=﹣11.
故答案為﹣5.
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱是解題關(guān)鍵.
18.若關(guān)于x的二次函數(shù)=ax2+2x﹣5的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，且其中有且僅有一個交點(diǎn)在原點(diǎn)和A(1，0)之間(不含原點(diǎn)和A點(diǎn))，則a的取值范圍是a>3.
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】由已知條件關(guān)于x的二次函數(shù)y=a2+2x﹣5的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)可得到△>0，然后根據(jù)有一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間(不含0和1)列出關(guān)于a的不等式并解答即可.
【解答】解：∵關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+2x﹣5的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，
∴△=4+20a>0，
解得a>﹣ .①
又∵有一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間(不含0和1)，
∴當(dāng)x=0時，y<0.
當(dāng)x=1時，y>0，
即a﹣3>0，
解得a>3.②
結(jié)合①②得到：a>3.
故答案為：a>3.
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn).解答該題的關(guān)鍵是需要熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì).
三、解答題(共10小題，滿分96分)
19.計算：2sin30°+4cos245°﹣3tan45°.
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得實數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算，可得答案.
【解答】解：原式=2× +4×( )2﹣3×1
=1+4× ﹣3
=1+2﹣3
=0.
【點(diǎn)評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)知識解題關(guān)鍵，又利用了實數(shù)的運(yùn)算.
20.在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC.
(1)求證：AC=BD;
(2)若sin∠C= ，BC=12，求AD的長.
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)由于tanB=cos∠DAC，所以根據(jù)正切和余弦的概念證明AC=BD;
(2)設(shè)AD=12k，AC=13k，然后利用題目已知條件即可解直角三角形.
【解答】(1)證明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB= ，cos∠DAC= ，
又∵tanB=cos∠DAC，
∴ = ，
∴AC=BD.
(2)解：在Rt△ADC中， ，
故可設(shè)AD=12k，AC=13k，
∴CD= =5k，
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12，
∴18k=12，
∴k= ，
∴AD=12k=12× =8.
【點(diǎn)評】此題考查解直角三角形、直角三角形的性質(zhì)等知識，也考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力.
21.一只不透明的袋子中裝有4個大小、質(zhì)地都相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有數(shù)字1、﹣2、3、﹣4，攪勻后先從中摸出一個球(不放回)，再從余下的3個球中摸出1個球.
(1)用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)求2次摸出的乒乓球球面上數(shù)字的積為偶數(shù)的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)依據(jù)題意用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能結(jié)果即可;
(2)由(1)的樹形圖，根據(jù)概率公式求出該事件的概率即可.
【解答】解：(1)根據(jù)題意畫樹形圖：
由圖可知共有12種可能結(jié)果，分別為：(1，﹣2)，(1，3)，(1，﹣4)，(﹣2，1)，(﹣2，3)，
(﹣2，﹣4)，(3，1)，(3，﹣2)，(3，﹣4)，(﹣4，1)，(﹣4，﹣2)，(﹣4，3);
(2)在(1)中的12種可能結(jié)果中，兩個數(shù)字之積為偶數(shù)的只有10種，P(積為偶數(shù))= .
【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
22.路邊一顆樹AB，身高1.8m的小明站在水平地面BD的D處，從點(diǎn)C測得樹的頂端A的仰角為60°.測得樹的底部B的俯角為30°，求樹高AB.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】根據(jù)直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半，進(jìn)而得出BC以及AB的長即可.
【解答】解：在Rt△CDB中，
∵CD=1.8m，∠CBD=30°，
∴CB=3.6m，
在Rt△ACB中，∵∠CAB=30°，∴AB=7.2m，
答：樹的高度AB為7.2m.
【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知得出BC的長是解題關(guān)鍵.
23.正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，△ABC和△EDF的點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上.
(1)求證：△ABC∽△EDF;
(2)求∠BAC的度數(shù).
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】(1)利用勾股定理可分別求出兩個三角形的各個邊長，再驗證對應(yīng)邊的比值相等即可證明△ABC∽△EDF;
(2)由相似三角形的性質(zhì)可得對應(yīng)角相等，所以∠BAC=∠FED，由給出的圖形易求∠FED的度數(shù)，進(jìn)而可求出∠BAC的度數(shù).
【解答】(1)證明：∵DE= ，DF= = ，EF=2，AB= = ，AC= = ，BC=5，
∴ ，
∴△ABC∽△EDF;
(2)∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC=∠FED，
∵∠FED=90°+45°=135°，
∴∠BAC=135°.
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，求∠BAC的度數(shù)轉(zhuǎn)化為求∠FED的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.
24.已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù).
(1)求k的值;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將二次函數(shù)=2x2+4x+k﹣1的圖象向下平移4個單位.
?、偾笃揭坪蟮膱D象所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②在給定的網(wǎng)格中，畫出平移后的大致圖象.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換;根的判別式.
【分析】(1)直接利用根的判別式得出k的取值范圍進(jìn)而得出答案;
(2)①根據(jù)題意得出k的值，進(jìn)而利用平移的性質(zhì)得出答案;
②利用所求解析式進(jìn)而畫出平移后圖象.
【解答】解：(1)∵關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù)，
∴△=b2﹣4ac=16﹣4×2(k﹣1)≥0，
解得：k≤3，
∴k=1或2或3;
(2)①∵方程2x2+4x+k﹣1=0有兩個非零的整數(shù)根，k=1或2或3，
∴k=3，
則二次函數(shù)y=2x2+4x+2=2(x+1)2，
故二次函數(shù)y═2x2+4x+k﹣1的圖象向下平移4個單位得到：y=2(x+1)2﹣4，
則平移后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=2(x+1)2﹣4;
?、谌鐖D所示：
.
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的平移和二次函數(shù)圖象畫法，正確得出k的值是解題關(guān)鍵.
25.AC是⊙O的直徑，BC交⊙O于點(diǎn)D，E是 的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，∠ABC=2∠EAC.
(1)求證：AB是⊙O的切線;
(2)若tanB= ，BD=6，求CF的長.
【考點(diǎn)】切線的判定.
【分析】(1)連結(jié)AD，根據(jù)圓周角定理，由E是 的中點(diǎn)，得到∠EAC=∠EAD，由于∠ABC=2∠EAC，則∠ABC=∠DAC，再利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則∠DAC+∠ACB=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到AB是⊙O的切線;
(2)作FH⊥AC于H，利用余弦定義，在Rt△ABD中可計算出AD=8，利用勾股定理求得AB=10，在Rt△ACB中可計算出AC= ，根據(jù)勾股定理求得BC= ，則，CD=BC﹣BD= ，接著根據(jù)角平分線性質(zhì)得FD=FH，于是設(shè)CF=x，則DF=FH= ﹣x，然后利用平行線得性質(zhì)由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosB= = ，再利用比例性質(zhì)可求出CF.
【解答】(1)證明：連接AD，∵AC是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵E是 的中點(diǎn)，
∴∠EAC=∠EAD，
∴∠DAC=2∠EAC，
∵∠ABC=2∠EAC，
∴∠ABC=∠DAC，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，
∴CA⊥AB，
∴AB是⊙O的切線;
(2)解：作FH⊥AC于H，
在Rt△ABD中，∵tanB= = ，BD=6，
∴AD=8，
∴AB= =10，
在Rt△ACB中，∵tanB= = ，
∴AC= ×10= ，
∴BC= = ，
∴CD=BC﹣BD= ﹣6= ，
∵∠EAC=∠EAD，即AF平分∠CAD，
而FD⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，
∴FD=FH，
設(shè)CF=x，則DF=FH= ﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFC=∠B，
在Rt△CFH中，∵tan∠CFH=tanB= = ，
∴ = = ，解得x= ，
即CF的長為 .
【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.也考查了解直角三角形.
26.為了給草坪噴水，安裝了自動旋轉(zhuǎn)噴水器，如圖所示.設(shè)直線AD所在位置為地平面，噴水管AB高出地平面1.5m，在B處有一個自動旋轉(zhuǎn)的噴水頭，一瞬間噴出的水流呈拋物線狀.噴頭B與水流最高點(diǎn)C的連線與地平面成45°的角，水流的最高點(diǎn)C離地平面3.5m，水流的落地點(diǎn)為D.在建立如圖所示的直角坐標(biāo)系中：
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)求水流的落地點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)把拋物線的問題放到直角坐標(biāo)系中解決，是探究實際問題常用的方法，本題關(guān)鍵是解等腰直角三角形，求出拋物線頂點(diǎn)C(2，3.5)及B(0，1.5)，設(shè)頂點(diǎn)式求解析式;
(2)求AD，實際上是求當(dāng)y=0時點(diǎn)D橫坐標(biāo).
【解答】解：在如圖所建立的直角坐標(biāo)系中，
由題意知，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1.5)，∠CBE=45°，
∴△BEC為等腰直角三角形，
∴BE=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3.5)，
(1)設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為
y=ax2+bx+c(a≠0)，
則拋物線過點(diǎn)(0，1.5)頂點(diǎn)為(2，3.5)，
∴當(dāng)x=0時，y=c=1.5
由﹣ ，得b=﹣4a，
由 ，得 ，
解之，得a=0(舍去)，a=﹣ ，
∴b=﹣4a=2.
所以拋物線的解析式為y=﹣ x2+2x+ ;
(2)∵D點(diǎn)為拋物線y=﹣ x2+2x+ 的圖象與x軸的交點(diǎn)，
∴當(dāng)y=0時，即：﹣ x2+2x+ =0，
解得x=2± ，
x=2﹣ 不合題意，舍去，取x=2+ .
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2+ ，0)，
∴AD=(2+ )(m).
答：水流的落地點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離是(2+ )m.
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
27.已知拋物線y=﹣(x﹣m)2+1與x軸的交點(diǎn)為A、B(B在A的右邊)，與y軸的交點(diǎn)為C.
(1)寫出m=1時與拋物線有關(guān)的三個正確結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊，點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時，是否存在△BOC為等腰三角形的情形?若存在，求出m的值;若不存在，請說明理由;
(3)請你提出一個對任意的m值都能成立的正確命題(說明：根據(jù)提出問題的水平層次，得分略有差異).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【專題】壓軸題;開放型;分類討論.
【分析】(1)將m=1代入y=﹣(x﹣m)2+1化簡可得拋物線的解析式為y=﹣x2+2x;
(2)存在.令y=0時得出(x﹣m)2=1得出A，B的坐標(biāo).令x=0時得出點(diǎn)C在原點(diǎn)下方得出OC=m2﹣1，求出m的實際值;
(3)已知拋物線y=﹣(x﹣m)2+1，根據(jù)m值的不同分情況解答.
【解答】解：(1)當(dāng)m=1時，拋物線的解析式為y=﹣x2+2x.
正確的結(jié)論有：
?、賿佄锞€的解析式為y=﹣x2+2x;
?、陂_口向下;
③頂點(diǎn)為(1，1);④拋物線經(jīng)過原點(diǎn);
?、菖cx軸另一個交點(diǎn)是(2，0);
?、迣ΨQ軸為x=1;等
說明：每正確寫出一個得一分，最多不超過.
(2)存在.
當(dāng)y=0時，﹣(x﹣m)2+1=0，即有(x﹣m)2=1.
∴x1=m﹣1，x2=m+1.
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊，
∴A(m﹣1，0)，B(m+1，0)
∵點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊
∴OB=m+1
∵當(dāng)x=0時，y=1﹣m2，點(diǎn)C在原點(diǎn)下方
∴OC=m2﹣1.
當(dāng)m2﹣1=m+1時，m2﹣m﹣2=0
∴m=2或m=﹣1(因為對稱軸在y軸的右側(cè)，m>0，所以不合要求，舍去)，
∴存在△BOC為等腰三角形的情形，此時m=2.
(3)如①對任意的m，拋物線y=﹣(x﹣m)2+1的頂點(diǎn)都在直線y=1上;
?、趯θ我獾膍，拋物線y=﹣(x﹣m)2+1與x軸的兩個交點(diǎn)間的距離是一個定值;
?、蹖θ我獾膍，拋物線y=﹣(x﹣m)2+1與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為2.
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，考生要注意的是要分情況解答未知數(shù)，難度中上.
28.在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，并且CD=3cm，現(xiàn)有兩個動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度，沿AC向終點(diǎn)C移動;點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動.過點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ，設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時間為x秒.
(1)用含x的代數(shù)式表示AE、DE的長度;
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在BD(不包括點(diǎn)B、D)上移動時，設(shè)△EDQ的面積為y(cm2)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)x為何值時，△EDQ為直角三角形?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題;全等三角形的判定與性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】(1)可根據(jù)PE∥DC，來得出關(guān)于AE，AD，AP，AC的比例關(guān)系，AD可根據(jù)勾股定理求出，那么就能用x表示出AE的長，進(jìn)而可表示出DE的長;
(2)求三角形EDQ的面積可以QD為底邊，以PC為高來求，QD=BD﹣BQ，而BQ可根據(jù)Q的速度用時間表示出來，那么也就能用x表示出QD，而PC就是AC﹣AP，有了底和高，就可以根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式;
(3)因為∠ADB是鈍角，因此要想使三角形EDQ是直角三角形，那么Q就必須在CD上，可分兩種情況進(jìn)行討論：
?、佼?dāng)∠EQD=90°時，四邊形EPCQ是個矩形，那么EQ=PC，DQ=BQ﹣BD，根據(jù)EQ∥AC可得出關(guān)于EQ，AC，DQ，DC的比例關(guān)系從而求出x的值.
?、诋?dāng)∠DEQ=90°時，可用PC和∠DAC的正弦值來表示出EQ，然后用相似三角形EQD和ABC，得出關(guān)于EQ，AC，DQ，AD的比例關(guān)系，從而求出x的值.
【解答】解：(1)在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，
∴AD=5，
∵EP∥DC，
∴△AEP∽△ADC
即 = ，
∴EA= x，
DE=5﹣ x;
(2)∵BC=5，CD=3，
∴BD=2，
當(dāng)點(diǎn)Q在BD上運(yùn)動x秒后，DQ=2﹣1.25x，
則y= ×DQ×CP= (4﹣x)(2﹣1.25x)= x2﹣ x+4，
即y與x的函數(shù)解析式為：y= x2﹣ x+4，
其中自變量的取值范圍是：0
(3)分兩種情況討論：
?、佼?dāng)∠EQD=90°時，顯然有EQ=PC=4﹣x，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴ = ，
即 = ，
解得x=2.5
②當(dāng)∠QED=90°時，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴ = ，即 = ，
解得x=3.1.
綜上所述，當(dāng)x為2.5秒或3.1秒時，△EDQ為直角三角形.
【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，弄清相關(guān)線段的大小和比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
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