高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)及例題分析

　　集合知識(shí)點(diǎn)

　　1.集合的有關(guān)概念。

　　1)集合(集)：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素

　　注意：①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念，教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類(lèi)似。

　?、诩现械脑鼐哂写_定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。

　　③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件

　　2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

　　3)集合的分類(lèi)：有限集，無(wú)限集，空集。

　　4)常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N*

　　2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

　　1)子集：若對(duì)x∈A都有x∈B，則A B(或A B);

　　2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;記為A B(或 ，且 )

　　3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}

　　4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

　　5)補(bǔ)集：CUA={x| x A但x∈U}

　　注意：①? A，若A≠?，則? A ;

　?、谌?， ，則 ;

　?、廴?且 ，則A=B(等集)

　　3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，特別要注意以下的符號(hào)：(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

　　4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

　?、貯∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

　　④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

　　5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

　　①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;

　?、跜u (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

　　6.有限子集的個(gè)數(shù)：設(shè)集合A的元素個(gè)數(shù)是n，則A有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)非空子集，2n-2個(gè)非空真子集。

　　例題

　　【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關(guān)系

　　A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

　　分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

　　解答一：對(duì)于集合M：{x|x= ,m∈Z};對(duì)于集合N：{x|x= ,n∈Z}

　　對(duì)于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P，故選B。

　　分析二：簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。

　　解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。

　　= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

　　= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。

　　點(diǎn)評(píng)：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　變式：設(shè)集合 ， ，則( B )

　　A.M=N B.M N C.N M D.

　　解：

　　當(dāng) 時(shí)，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B

　　【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個(gè)數(shù)為

　　A)1 B)2 C)3 D)4

　　分析：確定集合A*B子集的個(gè)數(shù)，首先要確定元素的個(gè)數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。

　　解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個(gè)元素，故A*B的子集共有22個(gè)。選D。

　　變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個(gè)數(shù)為

　　A)5個(gè) B)6個(gè) C)7個(gè) D)8個(gè)

　　變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　評(píng)析 本題集合A的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù)，所以共有 個(gè) .

　　【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。

　　解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

　　∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，

　　∴ 變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實(shí)數(shù)b,c,m的值.

　　解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

　　∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

　　又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

　　分析：先化簡(jiǎn)集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。

　　解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。

　　綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

　　變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

　　點(diǎn)評(píng)：在解有關(guān)不等式解集一類(lèi)集合問(wèn)題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來(lái)解之。

　　變式2：設(shè)M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。

　　解答：M={-1,3} , ∵M(jìn)∩N=N, ∴N M

　　①當(dāng) 時(shí)，ax-1=0無(wú)解，∴a=0 ②

　　綜①②得：所求集合為{-1，0， }

　　【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域?yàn)镼，若P∩Q≠Φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

　　分析：先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。

　　解答：(1)若 ， 在 內(nèi)有有解

　　令 當(dāng) 時(shí)，

　　所以a>-4,所以a的取值范圍是

　　變式：若關(guān)于x的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

　　解答：

　　點(diǎn)評(píng)：解決含參數(shù)問(wèn)題的題目，一般要進(jìn)行分類(lèi)討論，但并不是所有的問(wèn)題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。