北師大版高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)
北師大版高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)
函數(shù)是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)及難點(diǎn)，有哪些知識(shí)點(diǎn)需要學(xué)生了解?下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)?lái)的高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，希望對(duì)你有幫助。
北師大版高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)
函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.
如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1
(1)若總有f(x1)
(2)若總有f(x1)>f(x2),則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。
如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有嚴(yán)格的單調(diào)性，這一區(qū)
間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。
函數(shù)的奇偶性：在函數(shù)y=f(x)中，如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x.
(1)若都有f(-x)=-f(x),則稱(chēng)函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(2)若都有f(-x)=f(x),則稱(chēng)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。
如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是奇函數(shù)或者偶函數(shù)，那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在該區(qū)間上具有奇偶性。
1.作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟(1)列表;(2)描點(diǎn);(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn))
2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿(mǎn)足等式：y=kx+b。(2)一次函數(shù)與x軸交
點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0，b)正比例函數(shù)的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。
3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：
當(dāng)k>0時(shí)，直線必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大;
當(dāng)k<0時(shí)，直線必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。
當(dāng)b>0時(shí)，直線必通過(guò)一、二象限;當(dāng)b<0時(shí)，直線必通過(guò)三、四象限。
特別地，當(dāng)b=O時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)O(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，直線只通過(guò)一、三象限;當(dāng)k<0時(shí)，直線只通過(guò)二、四象限。
自變量x和因變量y有如下關(guān)系：
y=kx+b
則此時(shí)稱(chēng)y是x的一次函數(shù)。
當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。
即：y=kx (k為常數(shù)，k≠0)
3基本初等函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=a^x(a>0且不=1) ，從上面我們對(duì)于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個(gè)實(shí)數(shù)集合為定義域，則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。
在函數(shù)y=a^x中可以看到：
(1) 指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，對(duì)于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮，
同時(shí)a等于0一般也不考慮。
(2) 指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。
(3) 函數(shù)圖形都是下凹的。
(4) a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。
(5) 可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸
的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過(guò)渡位置。
(6) 函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無(wú)限趨向于X軸,永不相交。
(7) 函數(shù)總是通過(guò)(0，1)這點(diǎn)
(8) 顯然指數(shù)函數(shù)無(wú)界。
(9) 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。
例1：下列函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)?
?、舮=4^x
因?yàn)?>1，所以y=4^x在R上是增函數(shù);
?、苰=(1/4)^x
因?yàn)?<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是減函數(shù)
對(duì)數(shù)函數(shù)
一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作log aN=b,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。
真數(shù)式子沒(méi)根號(hào)那就只要求真數(shù)式大于零,如果有根號(hào),要求真數(shù)大于零還要保證根號(hào)里的式子大于零， 底數(shù)則要大于0且不為1
對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1
在一個(gè)普通對(duì)數(shù)式里 a<0,或=1 的時(shí)候是會(huì)有相應(yīng)b的值的。但是，根據(jù)對(duì)數(shù)定義: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切實(shí)數(shù)(比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等)第二，根據(jù)定義運(yùn)算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么這個(gè)等式兩邊就不會(huì)成立 (比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4;一個(gè)等于1/16，另一個(gè)等于-1/16)
對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為 ，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過(guò)的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。
(1) 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。
(2) 對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。
(3) 函數(shù)總是通過(guò)(1，0)這點(diǎn)。
(4) a大于1時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸;a小于1大于0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。
(5) 顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。
對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：
如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：
(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n屬于R)
北師大版高一數(shù)學(xué)練習(xí)
1.設(shè)f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函數(shù)，且f(-12)•f(12)<0，則方程f(x)=0在[-1,1]內(nèi)
( )
A.可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根 B.可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根
C.有唯一的實(shí)數(shù)根 D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根
解析：由f -12•f 12<0得f(x)在-12，12內(nèi)有零點(diǎn)，又f(x)在[-1,1]上為增函數(shù)，
∴f(x)在[-1,1]上只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的實(shí)根.
答案：C
2.(2014•長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，x、f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.13 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064
則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間有
( )
A.區(qū)間[1,2]和[2,3]
B.區(qū)間[2,3]和[3,4]
C.區(qū)間[2,3]、[3,4]和[4,5]
D.區(qū)間[3,4]、[4,5]和[5,6]
解析：∵f(2)與f(3)，f(3)與f(4)，f(4)與f(5)異號(hào)，
∴f(x)在區(qū)間[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零點(diǎn).
答案：C
3.若a>1，設(shè)函數(shù)f(x)=ax+x-4的零點(diǎn)為m，g(x)=logax+x-4的零點(diǎn)為n，則1m+1n的取值范圍是
( )
A.(3.5，+∞) B.(1，+∞)
C.(4，+∞) D.(4.5，+∞)
解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，
在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=ax，y=logax，y=-x+4的圖象，結(jié)合圖形可知，n+m為直線y=x與y=-x+4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，由y=xy=-x+4，解得x=2，所以n+m=4，因?yàn)?n+m)1n+1m=1+1+mn+nm≥4，又n≠m，故(n+m)1n+1m>4，則1n+1m>1.
答案：B
4.(2014•昌平模擬)已知函數(shù)f(x)=ln x，則函數(shù)g(x)=f(x)-f′(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是
( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1x，所以g(x)=f(x)-f′(x)=ln x-1x.因?yàn)間(1)=ln 1-1=-1<0，g(2)=ln 2-12>0，所以函數(shù)g(x)=f(x)-f′(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2).故選B.
答案：B
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