高一數學必修1對數函數知識點總結
高一數學必修1對數函數知識點總結
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高一數學必修1對數函數知識點總結
一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數b叫做以a為底N的對數，記作log(a)(N)=b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數。
底數則要大于0且不為1
對數的運算性質
當a>0且a≠1時,M>0,N>0，那么：
(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)
(4)換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)
對數與指數之間的關系
當a>0且a≠1時,a^x=N x=㏒(a)N
常用簡略表達方式
(1)常用對數:lg(b)=log(10)(b)
(2)自然對數:ln(b)=log(e)(b)
(3) log(a)+(b)=log(a)(b)
e=2.718281828... 通常情況下只取e=2.71828 對數函數的定義
對數函數的一般形式為 y=㏒(a)x，它實際上就是指數函數的反函數(圖象關于直線y=x對稱的兩函數互為反函數)，可表示為x=a^y。因此指數函數里對于a的規(guī)定(a>0且a≠1)，同樣適用于對數函數。
右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：
可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。
定義域：(0，+∞)值域：實數集R
定點：函數圖像恒過定點(1，0)。
單調性：a>1時，在定義域上為單調增函數，并且上凸;
0<1時，在定義域上為單調減函數，并且下凹。<1時，在定義域上為單調
奇偶性：非奇非偶函數
周期性：不是周期函數
零點：x=1
知識拓展：
16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學領域(特別是天文學)的發(fā)展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，于是數學家們?yōu)榱藢で蠡喌挠嬎惴椒ǘl(fā)明了對數。
德國的史提非(1487-1567)在1544年所著的《整數算術》中，寫出了兩個數列，左邊是等比數列(叫原數)，右邊是一個等差數列(叫原數的代表，或稱指數，德文是Exponent ，有代表之意)。
欲求左邊任兩數的積(商)，只要先求出其代表(指數)的和(差)，然后再把這個和(差)對向左邊的一個原數，則此原數即為所求之積(商)，可惜史提非并未作進一步探索，沒有引入對數的概念。
納皮爾對數值計算頗有研究。他所制造的「納皮爾算籌」，化簡了乘除法運算，其原理就是用加減來代替乘除法。 他發(fā)明對數的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法，他依據一種非常獨等的與質點運動有關的設想構造出所謂對數方 法，其核心思想表現為算術數列與幾何數列之間的聯系。在他的《奇妙的對數表的描述》中闡明了對數原理，后人稱為 納皮爾對數，記為Nap.㏒x，它與自然對數的關系為Nap.㏒x=107㏑(107/x)
由此可知，納皮爾對數既不是自然對數，也不是常用對數，與現今的對數有一定的距離。
瑞士的彪奇(1552-1632)也獨立地發(fā)現了對數，可能比納皮爾較早，但發(fā)表較遲(1620)。
英國的布里格斯在1624年創(chuàng)造了常用對數。
1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數》使對數與自然對數更接近(以e=2.71828...為底)。
對數的發(fā)明為當時社會的發(fā)展起了重要的影響，正如科學家伽利略(1564-1642)說：「給我時間，空間和對數，我可以創(chuàng)造出一個宇宙」。又如十八世紀數學家拉普拉斯( 1749-1827)亦提到：「對數用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍」。
最早傳入我國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯(1611-1656)和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合 編而成的。當時在lg2=0.3010中，2叫「真數」，0.3010叫做「假數」，真數與假數對列成表，故稱對數表。后來改用 「假數」為「對數」。
我國清代的數學家戴煦(1805-1860)發(fā)展了多種的求對數的捷法，著有《對數簡法》(1845)、《續(xù)對數簡法》(1846)等。1854年，英國的數學家艾約瑟(1825-1905) 看到這些著作后，大為嘆服。
當今中學數學教科書是先講「指數」，后以反函數形式引出「對數」的概念。但在歷史上，恰恰相反，對數概念不是來自指數，因為當時尚無分指數及無理指數的明確概念。布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數表示對數的建議。1742年 ，J.威廉(1675-1749)在給G.威廉的《對數表》所寫的前言中作出指數可定義對數。而歐拉在他的名著《無窮小 分析尋論》(1748)中明確提出對數函數是指數函數的逆函數，和現在教科書中的提法一致。
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