高三文科數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題
要把數(shù)學(xué)學(xué)好就得找到適合自己的學(xué)習(xí)方法，了解數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，使自己進(jìn)入數(shù)學(xué)的廣闊天地中去，今天小編就給大家分享一下高三數(shù)學(xué)，一起來(lái)收藏哦
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文科
一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)全集U=R，集合 ，則∁UA等于( )
A.[1，2] B.[1，2) C.(1，2] D.(1，2)
2.已知復(fù)數(shù) ，則z的共軛復(fù)數(shù) 等于( )
A. B. C.1+i D.1﹣i
3.已知 ，則 等于( )
A.7 B. C.3 D.
4.2015是等差數(shù)列3，7，11…的第項(xiàng)( )
A.502 B.503 C.504 D.505
5.函數(shù)y=lg(x2﹣2x)的單調(diào)增區(qū)間為( )
A.(2，+∞) B.(1，+∞) C.(﹣∞，1) D.(﹣∞，2)
6.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=cosx，則 =( )
A. B. C. D.
7.若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為 ，則c等于( )
A.2 B.﹣2 C.1 D.0
8.命題p：∀a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6相交.則¬p及¬p的真假為( )
A.￢p：∀a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6不相交，￢p為真
B.￢p：∀a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6不相交，￢p為假
C.￢p：∃a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6不相交，￢p為真
D.￢p：∃a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6不相交，￢p為假
9.函數(shù) 在某一個(gè)周期內(nèi)的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則該函數(shù)的解析式為( )
A. B. C. D.
10.若點(diǎn)P(x，y)在以A(﹣3，1)，B(﹣1，0)，C(﹣2，0)為頂點(diǎn)的△ABC的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)(不包含邊界)，則 的取值范圍( )
A.[ ，1] B.( ，1) C.[ ，1] D.( ，1)
11.已知f(x)=sinx﹣ x(x ，則f(x)的值域?yàn)? )
A.[0， ﹣ ] B.[1﹣ ， ﹣ ] C.[0， ﹣ ] D.[1﹣ ， ﹣ ]
12.設(shè)F1、F2分別是橢圓 的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，3)，則|PM|﹣|PF2|的最小值為( )
A.5 B. C.1 D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.橢圓 的離心率為 .
14.框圖如圖所示，最后輸出的a= .
15.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件 目標(biāo)函數(shù)z=x+ay取最大值時(shí)有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解，則a= .
16.已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則P到x軸的距離為 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.已知關(guān)于x的不等式 對(duì)于a∈(1，+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
18.已知圓C：(x﹣1)2+(y﹣4)2=r2(r>0)
(Ⅰ)若直線x﹣y+5=0與圓C相交所得弦長(zhǎng)為 ，求半徑r;
(Ⅱ)已知原點(diǎn)O，點(diǎn)A(2，0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得 ，求半徑r的取值范圍.
19.已知△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，AB=3，BD=2，cos∠ABC= .
(Ⅰ)求BC;
(Ⅱ)求sinA.
20.已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1﹣3an=3n(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn= .
(Ⅰ)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
21.已知橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)F1作斜率不為0的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為8.橢圓上一點(diǎn)P與A1，A2連線的斜率之積 (點(diǎn)P不是左右頂點(diǎn)A1，A2).
(Ⅰ)求該橢圓方程;
(Ⅱ)已知定點(diǎn)M(0，m)(其中常數(shù)m>0)，求橢圓上動(dòng)點(diǎn)N與M點(diǎn)距離的最大值.
22.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常數(shù)a∈R).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)全集U=R，集合 ，則∁UA等于( )
A.[1，2] B.[1，2) C.(1，2] D.(1，2)
【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算.
【分析】先解不等式從而解出集合A，然后求∁UA.
【解答】解：∵全集U=R，集合A={x| ≥0}={x|x≤1或x>2}，
∴∁UA={x|1
故選C.
2.已知復(fù)數(shù) ，則z的共軛復(fù)數(shù) 等于( )
A. B. C.1+i D.1﹣i
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.
【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為a+bi，然后求解共軛復(fù)數(shù)即可.
【解答】解：復(fù)數(shù) = = .
則z的共軛復(fù)數(shù) = .
故選：A.
3.已知 ，則 等于( )
A.7 B. C.3 D.
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.
【分析】直接利用向量的數(shù)量積，以及向量的模，求解即可.
【解答】解： ，
則 = = = .
故選：B.
4.2015是等差數(shù)列3，7，11…的第項(xiàng)( )
A.502 B.503 C.504 D.505
【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【分析】由題意易得數(shù)列的通項(xiàng)公式，令其等于2015解n值即可.
【解答】解：由題意可得等差數(shù)列的公差d=7﹣3=4，
∴通項(xiàng)公式an=3+4(n﹣1)=4n﹣1，
令4n﹣1=2015可解得n=504
故選：C
5.函數(shù)y=lg(x2﹣2x)的單調(diào)增區(qū)間為( )
A.(2，+∞) B.(1，+∞) C.(﹣∞，1) D.(﹣∞，2)
【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.
【分析】令t=x2﹣2x>0，求得函數(shù)的定義域，根據(jù)y=g(t)=lgt，本題即求函數(shù)t在定義域內(nèi)的增區(qū)間，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，得出結(jié)論.
【解答】解：令t=x2﹣2x>0，求得x<0，或 x>2，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<0，或 x>2}，
根據(jù)y=g(t)=lgt，本題即求函數(shù)t在定義域內(nèi)的增區(qū)間，
再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)t在定義域內(nèi)的增區(qū)間為(2，+∞)，
故選：A.
6.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=cosx，則 =( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì).
【分析】直接利用函數(shù)的奇偶性以及特殊角的三角函數(shù)值 求解即可.
【解答】解：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=cosx，
則 =﹣f( )=﹣cos =﹣ .
故選：D.
7.若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為 ，則c等于( )
A.2 B.﹣2 C.1 D.0
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【分析】求出an，求出a1，a2，a3，再由a22=a1•a3能夠得到常數(shù)a的值.
【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1﹣c所以S1=4﹣c，S2=8﹣c，S3=16﹣c，
又因?yàn)閍1=s1，a2=s2﹣s1，a3=s3﹣s2，所以a1=4﹣c，a2=4，a3=8，
根據(jù)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，可知a1a3=a22，所以(4﹣c)×8=16，解得，c=2.
故選：A.
8.命題p：∀a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6相交.則¬p及¬p的真假為( )
A.￢p：∀a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6不相交，￢p為真
B.￢p：∀a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6不相交，￢p為假
C.￢p：∃a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6不相交，￢p為真
D.￢p：∃a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6不相交，￢p為假
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用;命題的否定.
【分析】寫出命題否定命題，然后判斷真假即可.
【解答】解：命題p：∀a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6相交.則¬p：∃a∈R，直線ax+y﹣2a﹣1=0與圓x2+y2=6不相交，
直線系恒過(guò)定點(diǎn)(2，1)，因?yàn)樵趫Ax2+y2=6的內(nèi)部，所以直線系恒與圓相交.
所以否定命題是假命題.
故選：D.
9.函數(shù) 在某一個(gè)周期內(nèi)的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則該函數(shù)的解析式為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.
【分析】由函數(shù)圖象最高點(diǎn)和最低點(diǎn)縱坐標(biāo)可得振幅A值，相鄰最高和最低點(diǎn)間的橫坐標(biāo)之差為半個(gè)周期，即可求得函數(shù)的周期，進(jìn)而得ω的值，利用點(diǎn)( ，2)在函數(shù)圖象上，解得：φ=2kπ﹣ ，k∈Z，結(jié)合范圍|φ| ，可得φ的值，從而得解.
【解答】解：∵某一個(gè)周期內(nèi)的圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ，
∴A=2，T=2×( + )=π，
∴ω= = =2，
∴f(x)=2sin(2x+φ)，
∵點(diǎn)( ，2)在函數(shù)圖象上，可得：2sin(2× +φ)=2，sin( +φ)=1，解得：φ=2kπ﹣ ，k∈Z，
∵|φ| ，可得φ=﹣ .
∴該函數(shù)的解析式為2sin(2x﹣ ).
故選：B.
10.若點(diǎn)P(x，y)在以A(﹣3，1)，B(﹣1，0)，C(﹣2，0)為頂點(diǎn)的△ABC的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)(不包含邊界)，則 的取值范圍( )
A.[ ，1] B.( ，1) C.[ ，1] D.( ，1)
【考點(diǎn)】直線的斜率.
【分析】先有斜率公式得出式子 的幾何意義是點(diǎn)P(x，y)和定點(diǎn)D(1，2)連線的斜率，由題意畫出圖形，根據(jù)圖形求直線PD的斜率范圍.
【解答】解：式子 的幾何意義是點(diǎn)P(x，y)和定點(diǎn)D(1，2)連線的斜率，
根據(jù)題意畫出圖形如圖：
由圖得，直線BD的斜率是 =1，直線AD的斜率是 = ，
故直線PD的斜率
故選D.
11.已知f(x)=sinx﹣ x(x ，則f(x)的值域?yàn)? )
A.[0， ﹣ ] B.[1﹣ ， ﹣ ] C.[0， ﹣ ] D.[1﹣ ， ﹣ ]
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;函數(shù)的值域.
【分析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.
【解答】解：f(x)=sinx﹣ x(x ，
f′(x)=cosx﹣ ，
則當(dāng) 時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng) 時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
∴當(dāng)x= 時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值， = ﹣ .
而f(0)=0，f( )=1﹣ .
∴f(x)的值域?yàn)?.
故選：A.
12.設(shè)F1、F2分別是橢圓 的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，3)，則|PM|﹣|PF2|的最小值為( )
A.5 B. C.1 D.
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】由題意畫出圖形，利用橢圓定義把|PM|﹣|PF2|轉(zhuǎn)化為|PM|﹣(2a﹣|PF1|)=(|PM|+|PF1|)﹣4.然后求出|MF1|得答案.
【解答】解：如圖，
由橢圓方程 ，得a=2，2a=4.
由橢圓定義知：|PF2|=2a﹣|PF1|，
∴|PM|﹣|PF2|=|PM|﹣(2a﹣|PF1|)=(|PM|+|PF1|)﹣4.
連接MF1 交橢圓于P，則P為滿足條件的點(diǎn).
此時(shí)|PM|+|PF1|最小，則(|PM|+|PF1|)﹣4最小.
∵F1(﹣1，0)，M(3，3)，
∴ ，
∴|PM|﹣|PF2|的最小值為1.
故選：C.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.橢圓 的離心率為 .
【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定a，b的值，求出c的值，利用離心率公式可得結(jié)論.
【解答】解：由題意，a=3，b= ，
∴ ，
∴ =
故答案為：
14.框圖如圖所示，最后輸出的a= .
【考點(diǎn)】程序框圖.
【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的i，a的值，當(dāng)i=3，時(shí)滿足條件i≥3，退出循環(huán)，輸出a的值為 .
【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得
i=1，a=2
i=2，a=﹣3
不滿足條件i≥3，i=3，a=﹣ ，
滿足條件i≥3，退出循環(huán)，輸出a的值為 .
故答案為： .
15.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件 目標(biāo)函數(shù)z=x+ay取最大值時(shí)有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解，則a= 0 .
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.
【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，要使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則目標(biāo)函數(shù)和其中一條直線平行，然后根據(jù)條件即可求出a的值.
【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分).
若a=0，則x=z，此時(shí)滿足條件最大值時(shí)有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解，此時(shí)a=0，
若a>0，
由z=x+ay得y=﹣ x+ ，
若a>0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=﹣ <0.
平移直線y=﹣ x+ ，
由圖象可知當(dāng)直線y=﹣ x+ 和直線AB：x+y=5平行時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，此時(shí)不滿足條件，
若a<0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=﹣ >0.
平移直線y=﹣ x+ ，
由圖象可知直線y=﹣ x+ ，取得最大值的點(diǎn)只有一個(gè)，此時(shí)不滿足條件，
綜上a=0，
答案為：0
16.已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則P到x軸的距離為 .
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】設(shè)點(diǎn)P(x，y)，表示出點(diǎn)P到x軸的距離為|y|，由哪一個(gè)角是直角來(lái)分類討論，在第一類中直接令x=±4得結(jié)果，在第二類中要列出方程組，再用等面積法求|y|.
【解答】解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則到x軸的距離為|y|
由于a=5，b=3，∴c=4，
(1)若∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°，
令x=±4得y2=9 (1﹣ )= ，
∴|y|= ，即P到x軸的距離為 .
(2)若∠F1PF2=90°，則
，
∴|PF1||PF2|= =18，
∵ |PF1||PF2|= |F1F2||y|，
∴|y|= ，
由(1)(2)知：P到x軸的距離為 或，
故答案為 或 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.已知關(guān)于x的不等式 對(duì)于a∈(1，+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
【考點(diǎn)】其他不等式的解法.
【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到3≥|2x﹣1|+|x+1|，通過(guò)討論a的范圍，求出不等式的解集即可.
【解答】解：設(shè)a﹣1=t>0，
則 ，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào).
所以3≥|2x﹣1|+|x+1|，
(1)當(dāng) 時(shí)，有3≥3x，得 ;
(2)當(dāng) 時(shí)，有3≥﹣x+2，得 ;
(3)當(dāng)x≤﹣1時(shí)，有3≥﹣3x，得x=﹣1.
綜上實(shí)數(shù)x的取值范圍為[﹣1，1].
18.已知圓C：(x﹣1)2+(y﹣4)2=r2(r>0)
(Ⅰ)若直線x﹣y+5=0與圓C相交所得弦長(zhǎng)為 ，求半徑r;
(Ⅱ)已知原點(diǎn)O，點(diǎn)A(2，0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得 ，求半徑r的取值范圍.
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.
【分析】(Ⅰ)求出C到直線x﹣y+5=0的距離，根據(jù)直線x﹣y+5=0與圓C相交所得弦長(zhǎng)為 ，利用勾股定理，即可求半徑r;
(Ⅱ)由 可得(x﹣4)2+y2=8，所以只需要圓C和圓(x﹣4)2+y2=8有公共點(diǎn).
【解答】解：(Ⅰ)C到直線x﹣y+5=0的距離為d= = ，直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為 ，所以 .
(Ⅱ)設(shè)P(x，y)，由 可得(x﹣4)2+y2=8，
所以只需要圓C和圓(x﹣4)2+y2=8有公共點(diǎn)，兩圓圓心距離為5，
所以 .
19.已知△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，AB=3，BD=2，cos∠ABC= .
(Ⅰ)求BC;
(Ⅱ)求sinA.
【考點(diǎn)】解三角形.
【分析】(Ⅰ)作AE、DF垂直于BC，垂足分別為E、F，由和差角的三角函數(shù)可得sin∠ABD的值，由2S△ABD=S△ABC可得BC的方程，解方程可得;
(Ⅱ)由余弦定理可得AC的值，再由余弦定理可得cosA，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinA.
【解答】解：(Ⅰ)作AE、DF垂直于BC，垂足分別為E、F，
由題意可得sin∠ABC= = = ，
∴AE=ABsin∠ABC= ，由中位線可得DF= AE= ，
∴sin∠DBC= ，cos∠DBC= = ，
∴sin∠ABD=sin(∠ABC﹣∠DBC)= ﹣ = ，
∵D為AC的中點(diǎn)，∴2S△ABD=S△ABC，
∴2× AB•BD•sin∠ABD= AB•BC•sin∠ABC，
∴2× ×3×2× = ×3×BC× ，
解得BC=2;
(Ⅱ)由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC
=9+4﹣2×3×2× =10，∴AC= ，
∴由余弦定理可得cosA= = ，
∴sinA= = .
20.已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1﹣3an=3n(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn= .
(Ⅰ)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.
【分析】(Ⅰ)利用條件，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，從而求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
【解答】(I)證明：∵ ， ， ，
∴bn+1﹣bn= ，…
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，…
∵ ，∴ ，
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 ;…
(II)解：∵ ，
∴ ，
當(dāng)n≥2時(shí)，相減得：
∴ ，…
整理得 ，
當(dāng)n=1時(shí)， ，…
綜上，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和 .…
21.已知橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)F1作斜率不為0的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為8.橢圓上一點(diǎn)P與A1，A2連線的斜率之積 (點(diǎn)P不是左右頂點(diǎn)A1，A2).
(Ⅰ)求該橢圓方程;
(Ⅱ)已知定點(diǎn)M(0，m)(其中常數(shù)m>0)，求橢圓上動(dòng)點(diǎn)N與M點(diǎn)距離的最大值.
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】(Ⅰ)由△ABF2的周長(zhǎng)為8求得a，然后結(jié)合 求得b點(diǎn)的值，則橢圓方程可求;
(Ⅱ)設(shè)出N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到|MN|關(guān)于N的縱坐標(biāo)的函數(shù)，然后分類求出橢圓上動(dòng)點(diǎn)N與M點(diǎn)距離的最大值.
【解答】解：(Ⅰ)如圖，由△ABF2的周長(zhǎng)為8，得4a=8，即a=2.
∴A1(﹣2，0)，A2(2，0)，
設(shè)P(x0，y0)，則 .
又 ，得 ，
即 ，∴b2=1.
則橢圓方程為： ;
(Ⅱ)設(shè)橢圓上N(x0，y0)(﹣1≤y0≤1)，又M(0，m)，
∴|MN|= =
= .
若 ，即m>3時(shí)，則當(dāng)y0=﹣1時(shí)，|MN|有最大值為m+1，
若0 ，即0
22.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常數(shù)a∈R).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【分析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)通過(guò)討論a的范圍，確定出滿足條件的a的范圍即可.
【解答】解：(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)，(x>0)，
f′(x)=﹣ ，
①a<﹣ 時(shí)，0<﹣ <1，
令f′(x)<0，解得：x>1或0
∴f(x)在 遞減，在 遞增;
?、讴?
∴f(x)在 遞減，在 遞增;
?、?，f′(x)=﹣ ≤0，f(x)在(0，1)，(1+∞)遞減;
?、躠≥0時(shí)，2ax+1>0，令f′(x)>0，解得：0
∴f(x)在(0，1)遞增，在(1，+∞)遞減;
(Ⅱ)函數(shù)恒過(guò)(1，0)，由(Ⅰ)得：a≥﹣ 時(shí)，符合題意，
a<﹣ 時(shí)，
f(x)在(0，﹣ )遞減，在 遞增，不合題意，
故a≥﹣ .
高三數(shù)學(xué)(文)上冊(cè)期中試題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)
是符合題目要求的。
1、設(shè)集合A={x| }，B={y|y=x2}，則A∩B=( )
A.[﹣2，2] B.[0，2] C.[2，+∞) D.{(﹣2，4)，(2，4)}
2、已知條件p：關(guān)于 的不等式 有解;條件q：指數(shù)函數(shù) 為減函數(shù)，則p成立是q成立的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充 要條件 D.既不充分也不必要條件
3、在△ 中， 為 邊的中點(diǎn)，若 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
4、已知等差數(shù)列 的公差為 ,若 成等比數(shù)列, 則 ( )
A. B. C. D.
5、若函數(shù) ， ， ，又 ， ，且 的最小值為 ，則 的值 為( )
A. B. C. D.2
6、指數(shù)函數(shù) 且 在 上是減函數(shù)，則函數(shù) 在R上的單調(diào)性為( )
A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減
C.在 上遞增，在 上遞減 D .在 上遞減，在 上遞增
7、已知 中， ， ，D為邊BC的中點(diǎn)，則 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8、數(shù)列 是等差數(shù)列，若 ，且它的前n項(xiàng)和 有最大值，那么當(dāng) 取得最小正值時(shí)，n等于( )
A.17 B.16 C.15 D.14
9、在 △ABC中，若 (tanB+tanC)=tanBtanC﹣1，則cos2A=( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
10、函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間與值域相同，則實(shí)數(shù) 的取值為( )
A. B. C. D.
11、已知函數(shù) ，其中 .若對(duì)于任意的 ，都有 ，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
12、
，則O是三角形的( )
A.垂心 B.外心 C.重心 D.內(nèi)心
二、 填空題：本大題共4小題，每小題5分。
13、正項(xiàng)等比數(shù)列 中的 是函數(shù) 的極值點(diǎn)，則 .
14、已知：正數(shù)x，y滿足3x+4y=xy 則3x+y的最小值是 .
15、正方體 的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且 ，過(guò)點(diǎn) 三點(diǎn)的平面交底面ABCD于PQ，點(diǎn)Q在直線BC上，則PQ= .
16、已知函數(shù) 則關(guān)于 的不等式 的解集為 。
三、解答題：解答應(yīng) 寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17、(本小題10分)設(shè) 、 ， ， 。若“對(duì)于一切實(shí)數(shù) ， ”是“對(duì)于一切實(shí)數(shù) ， ”的充分條件，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
18、(本小題12分)
已知數(shù)列 滿足 ，且 ，
(I)求證：數(shù)列 是等比數(shù)列;
(II)若不等式 對(duì) 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
19、(本小題12分)設(shè) 的 所對(duì)邊分別為 ,滿足 且 的面積 .
(1)求 ;
(2)設(shè) 內(nèi)一點(diǎn) 滿足 ，求 的大小.
20、(本小題12分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).
(1)若函數(shù)在 處的切線過(guò)(0,1)點(diǎn)，求k的值;
(2)當(dāng)k∈(12，1]時(shí)，試問(wèn)，函數(shù)f(x)在[0，k]是否存在極大值或極小值，說(shuō)明理由.
21、(本小題12分)已知橢圓 ( )的離心率為 ，且短軸長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)若與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線 與橢圓交于 兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 ， ，求 直線 的方程.
22、(本小題12分)已知函數(shù) 滿足滿足 ;
(1)求 的解析式及單調(diào)區(qū)間;
(2)若 ，求 的最大值.
高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷(文)答案
時(shí)間： 120分鐘 滿分：150分 命題人：牟欣 校對(duì)人：佟國(guó)榮
一.選擇題：CBADB BCCDB DA
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。
(13) 6 (14) 27 (15) (16)
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
(17)(本小題10分)
解：如果對(duì)于一切實(shí)數(shù) ， ，那么 …………2分
解得 即 的取值范圍為 …………3分
如果對(duì)于一切實(shí)數(shù) ， ，那么有 。……5分
得 ，即 的取值范圍為 。 …………6分
因?yàn)閷?duì)于對(duì)一切實(shí)數(shù) ， 是“對(duì)于一切實(shí)數(shù) ， ”的充分條件，
所以 且 ， …………8分
則有 。即 的取值范圍是 。 …………10分
18. (本小題12分)(1)證明：
所以數(shù)列 是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列;……………………… ….6分
(Ⅱ )解：由(1)知， ，由 得 ，即 ，…………9分設(shè) ，所以數(shù)列 為減數(shù)列， ， ……………… …………. 12分
(19)(本小題12分)
(Ⅰ)由余弦定理得 ，又因?yàn)?，
所以 ，所以 ，因?yàn)?，所以 ，
由正弦定理得 ，因?yàn)?所以 ，
因?yàn)?，所以 ; ………6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 所以 ，所以
設(shè) ，因?yàn)?，所以
因?yàn)?，所以
因?yàn)樵?中 所以 ，
因?yàn)樵?中 所以 ，
即 ，所以 ，即 ，即
因?yàn)?，所以 …………12分
20. 解：(I) f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=xex-2kx=x(ex-2k)，………………1分
，………………2分
設(shè)切線方程為 ，把 代入得 ，………………4分
(II)令f′(x)=0，得x1=0，x2=ln(2k).
令g(k)=ln(2k)-k，k∈(12，1]，………………5分
則g′(k)=1k-1=1-kk≥0，
所以g(k)在(12，1]上單調(diào)遞增.………………7分
所以g(k)≤g(1)=ln2-1=ln2-lne <0.
從而ln(2k)
所以當(dāng)x∈(0，ln(2k))時(shí)，f′(x)<0;f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(ln(2k)，+∞)時(shí)，f′(x)>0.f(x)單調(diào)遞增，………………10分
所以函數(shù)f(x)在[0，k]存在極小值，無(wú)極大值。………………12分
21.(1)短軸長(zhǎng) ， …………………………1分
又 ，所以 ，所以橢圓的方程為 …………………………4分
(2)設(shè)直線 的方程為 ，
，消去 得，
，…………………………6分
即 即 …………………………8分
即 …………………………10分
，解得 ，所以 …
22. 解：(1)
令 得：
得： (3分)
在 上單調(diào)遞增
得： 的解析式為
且單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ( 6分)
(2) 得
?、佼?dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增
時(shí)， 與 矛盾
?、诋?dāng) 時(shí)，
?、郛?dāng) 時(shí)，
得：當(dāng) 時(shí)，
令 ;則 當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)， 的最大值為 ( 12分)
高三數(shù)學(xué)文期中試卷閱讀
參考公式：錐體的體積公式: ，其中 是錐體的底面積， 是錐體的高.
第Ⅰ卷(共75分)
一、選擇題：本大題共1 5小題，每小題5 分，共75分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的.
1.設(shè)集合 ， ，則 等于( )
A. B. C. D.
2.若復(fù)數(shù) 的實(shí)部為 ，且 ，則復(fù)數(shù) 的虛部是( )
A. B. C. D.
3.若函數(shù) ， 則 ( )
A. B. C. D.
4.已知 則 ， 的夾角是( )
A. B. C. D.
5.若變量 滿足約束條件 的最大值和最小值分別為( )
A. B. C. D.
6. 在等比數(shù)列 中， ， ，則 ( )
A. B. C. D.
7.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+ ∞)上單調(diào)遞減的 是( )
A. B. C. D.
8.已知命題 對(duì)于 恒有 成立;命題 奇函數(shù) 的圖像必過(guò)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 為真 B. 為真 C. 為真 D. 為假
9.已知函數(shù) 與 ，它們的圖像有個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
10.若偶函數(shù) 在 上單調(diào)遞減， ，則 滿足( )
A. B. C. D.
11.將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為
A. B. C. D.
12.在平行四邊形ABCD中， ，點(diǎn) 分別在 邊上，且 ，則 =( )
A. B. C. D.
13. 已知 , 是兩條不同的直線, , 是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是( )
A.若 , ,則 B.若 , ,則
C.若 , ,則 D.若 , ,則
14.點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)，按逆時(shí)針方向沿周長(zhǎng)為 的圖形運(yùn)動(dòng)一周， 兩點(diǎn)連線的距離 與點(diǎn) 走過(guò)的路程 的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn) 所走的圖形是( )
15. 已知函數(shù) ，若函數(shù) 恰有4個(gè)零點(diǎn)，則 的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷(非選擇題，共75分)
二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分.
16.某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為___________
17.在平面直角坐標(biāo)系中，角 終邊過(guò)點(diǎn) ,
則 的值為. ________________.
18.設(shè) ，向量 ， ， ，且 ， ，則 = .
19.已知正數(shù) ， 滿足 ,則 的最小值為____________.
20.給出下列命題：
?、?ldquo;若 ，則 有實(shí)根”的逆否命題為真命題;
?、诿}“ ”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是 ;
?、?命題“ ，使得 ”的否定是真命題;
?、苊}p：函數(shù) 為偶函數(shù);命題q：函數(shù) 在 上為增函數(shù)，則 為真命題
其中正確命題的序號(hào)是 .(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)
三、解答題(本大題包括4小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō) 明，證明過(guò)程或演算步驟) .
21. (本小題滿分12分)
已知
(Ⅰ)求 的最小值及此時(shí) 的取值集合;
(Ⅱ)將 的圖象向右平移 個(gè)單位后所得圖象關(guān)于 軸對(duì)稱，求 的最小值.
22. (本小題滿分12分)
在等差數(shù)列 中， ，其前 項(xiàng)和為 ，等比數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)， ，公比為 ，且 ， .
(Ⅰ)求 與 ;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列 滿足 ，求 的前 項(xiàng)和 .
23. 某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥1 0)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x(單位：元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層?
(注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用= )
24. (本小題滿分14分)
設(shè)
(Ⅰ)求 的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(Ⅱ)討論 與 的大小關(guān)系;
(Ⅲ)求 的取值范圍，使得 < 對(duì)任意 >0成立.
文科數(shù)學(xué)(答案)
一、 選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C D C B D A B C D B B C A C D
二、 填空題
16. 17. 18. 1 9. 20. ①③
三、解答題
21. (Ⅰ)
∴ 的最小值為-2，此時(shí) ， ，
∴ 的取值集 合為：
(Ⅱ) 圖象向右平移 個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為
其為偶函數(shù)，那么圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，故： ，
∴ ，所以正數(shù) 的最小值為
22. 解：(Ⅰ)設(shè) 的公差為 ，
因?yàn)?所以
解得 或 (舍)， .
故 ， .
(Ⅱ)因?yàn)?，
所以 .
故 .
23. 解：設(shè)樓 房每平方米的平均綜合費(fèi)為f(x)元，則
令 得
當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)，
因此 當(dāng) 時(shí)，f(x)取最小值 ;
答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層.
24.解(Ⅰ)由題設(shè)知 ，
∴ 令 0得 =1，
當(dāng) ∈(0，1)時(shí)， <0，故(0，1)是 的單調(diào)減區(qū)間。
當(dāng) ∈(1，+∞)時(shí)， >0，故(1，+∞)是 的單調(diào)遞 增區(qū)間，因此， =1是 的唯一值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為
(II)
設(shè) ，則 ，
當(dāng) 時(shí)， 即 ，
當(dāng) 時(shí) ，
因此， 在 內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng) 時(shí)，
即
當(dāng)
(III)由(I)知 的最小值為1，所以，
，對(duì)任意 ，成立
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