上學期高三理科數(shù)學期中考試卷
調(diào)整好自己的心態(tài)，使自己在任何時候鎮(zhèn)靜，思路有條不紊，克服浮躁的情緒，今天小編就給大家分享一下高三數(shù)學，僅供收藏哦
上學期高三理科數(shù)學期中聯(lián)考試卷
一、 選擇題(本大題共15 小題，每小題5 分，共75 分. )
1. 集合 ，集合 ，則
A. B. C. D.
2.設 ，且 ，則向量 與向量 夾角為
A. B. C. D.
3.下列各式中錯誤的是
A. B. C. D.
4.若 ，則 的值為
A B C D
5.函數(shù) 是定義在 上的奇函數(shù)，當 時， 則 的值為
A. B. C. D.
6. 已知命題 對于 恒有 成立;命題 奇函數(shù) 的圖像必過原點，則下列結論正確的是( )
A. 為真 B. 為真 C. 為假 D. 為真
7.函數(shù) 定義域為
A. B. C. D .
8.要得到函數(shù) 的 圖像，只需將函數(shù) 的圖像
A.向左平移 個單位 B.向右平移 個單位
C.向左平移 個單位 D.向右平移 個單位
9. 函數(shù) 的一個零點落在下列哪個區(qū);間
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
10.函數(shù) 的圖象大致是
C D
11.若圓 的半徑為3，直徑 上一點 使 ， 為另一直徑的兩個端點，則
A. B. C. D.
12.下列四個結論中正確的個數(shù)是
是 的充分不必要條件;
命題： 的否定是 ;
若 則 的逆命題為真命題;
若 是 上的奇函數(shù)，則
A. 0 B. 1 C. 2 D.3
13. 為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示， 是邊長為 的等邊三角形，則 的值為
A. B. C. D.
14. 在 中， 分別是 的三等分點，且 若 ，則
A. B. C. D.
15. 已知函數(shù) 是定義在R上的可導函數(shù)， 為其導函數(shù)，若對于任意實數(shù) ，都有 ，其中 為自然對數(shù)的底數(shù)，則( )
A B
C D 與 大小關系不確定
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)
16. ,B= 且 ,則 的值是
17. 已知 ，則 的值為
18. 若曲線 的一條切線與直線 垂直，則該切線方程為
19.已知 ，則 = .
20. 計算定積分 ___________
三、解答題(本大題共4小題，共50分，解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟)
21..(本題滿分12分)已知向量 ， ，函數(shù) .
(1)求函數(shù) 的解析式;
(2)當 時，求 的單調(diào)遞增區(qū)間;
22.(本題滿分12分)已知函數(shù) ，
(1)求 的最小值;
(2)若對所有 都有 ，求實數(shù) 的取值范圍.
23.(本題滿分12分)已知函數(shù) ( 為常數(shù)且 )，函數(shù) 的圖象關于直線 對稱.
(I)求函數(shù) 的最小正周期;
(II)在 中，角A,B,C的對邊分別為 ，若 ，求 面積的最 大值.
24.(本題滿分14分)已知函數(shù) .
(Ⅰ)當 時，求 的極值;
(Ⅱ)當 時，討論 的單調(diào)性;
濟南一中2014級高三階段性測試
數(shù)學(理科)
2016.10
二、 選擇題(本大題共1 5 小題，每小題5 分，共75 分. )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A B C D A D D D B B C A D C A
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)
16. -3 17. 18. 19. 20.
三、解答題(本大題共4小題，共50分，解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟)
21. 【解】(1)∵
∴
∴
(2)由 ，
解得 ，
∵取 和 且 ，得 和 ，
∴ 的單調(diào)遞增區(qū)間為 和
法二：∵ ，∴ ，
∴由 和 ，
解得 和 ，
∴ 的單調(diào)遞增區(qū)間為 和
22.解：(1) 的定義域為 ， 的導數(shù) .
令 ，解得 ;令 ，解得 .
從而 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增.
所以，當 時， 取得最小值 .
(2)依題意 ，得 在 上恒成立，
即不等式 對于 恒成立 .
令 ， 則 .
當 時，因為 ，
故 是 上的增函數(shù)， 所以 的最小值是 ，
所以 的取值范圍是 .
23.
24.【解】(Ⅰ)當 時， ，定義域為 ，
的導函數(shù) .分
當 時， ， 在 上是減函數(shù);
當 時， ， 在 上是增函數(shù).分
∴當 時， 取得極小值為 ，無極大值.
(Ⅱ)當 時， 的定義域為 ， 的導函數(shù)為 .
由 得 ， ， .
(1)當 時， 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù);
(2)當 時， 在 上是減函數(shù);
(3)當 時， 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，
在 上是減函數(shù).
綜上所述，
當 時， 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù);
當 時， 在 上是減函數(shù);
當 時， 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù).
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，當 時， 在 上是減函數(shù).
∴ .
∵對于任意的 都有 ，
∴ 對任意 恒成立，
∴ 對任意 恒成立.
當 時， ，∴ .
∴實數(shù) 的取值范圍為 .
高三數(shù)學(理)上期中試題
第I卷(選擇題 共60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若集合 , ,則 ( )
A. B. C. D.
2.已知復數(shù) ，若 是實數(shù)，則實數(shù) 的值為 ( )
A. B. C. D.
3.以下判斷正確的是 ( )
.函數(shù) 為 上可導函數(shù)，則 是 為函數(shù) 極值 點的充要條件
.命題“ ”的否定是“ ”
C.“ ”是“函數(shù) 是偶函數(shù)”的充要條件
D. 命題“在 中，若 ，則 ”的逆命題為假命題
4.一個長方體被一個平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為 ( )
A.120 cm3 B.100 cm3 C.80 cm3 D.60 cm3
5.由曲線 ，直線 及坐標軸所圍成圖形的面積為
( )
A. B. C. D.
6.設等差數(shù)列 的前 項和為 ，若 , , ，則 ( )
A. B. C. D.
7.我國古代數(shù) 學典籍《九章算術》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今 有垣厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢?”現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，則輸出的結果 ( )
A. B. C. D.
8.設 ，則 ( )
A. B. C. D.
9.已知函數(shù) ，則 的圖象大致為 ( )
A B C D
10.函數(shù) 的圖象向右平移 個單位后，與函數(shù) 的
圖象重合，則 的值為 ( )
A¬. B. C. D.
11.橢圓 : 的左、右焦點分別為 ,焦距為 . 若直線y= 與橢圓 的一個交點M滿足 ，則該橢圓的離心率等于 ( )
A. B. C. D.
12.已知定義在R上的函數(shù) 滿足： 且 ， ，則方程 在區(qū)間 上的所有實根之和為 ( )
A. B . C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共 20分.
13.已知向量 .
14.已知 ，則 .
15.已知 滿足約束條件 若 的最小值為 ,則 .
16.在 中，內(nèi)角 的對邊分別為 ,已知 , ，
則 面積的最大值為 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)求 的最小正周期及對稱中心;
(Ⅱ)若 ，求 的最大值和最小值.
18.(本小題滿分12分)
如圖，在直三棱柱 中， ， 是棱 上
的一點， 是 的延長線與 的延長線的交點，且 ∥平面 .
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)求二面角 的平面角的正弦值.
19.(本小題滿分12分)
隨著蘋果7手機的 上市，很多消費者覺得價格偏高，尤其是一部分大學生可望而不可及，因此“國美在線”推出無抵押分期付款的購買方式，某店對最近100位采用分期付款的購買者進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如下表所示.
付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期
頻數(shù) 35 25
10
已知分3期付款的頻率為0.15，并且銷售一部蘋果7手機，顧客分1期付款，其利潤為1000元;分2期或3期付款，其利潤為1500元;分4期或5期付款，其利潤為2000元，以頻率作為概率.
(Ⅰ)求 ， 的值，并求事件 ：“購買蘋果7手機的3位顧客中，至多有1位分4期付款”的概率;
(Ⅱ)用 表示銷售一部蘋果7手機的利潤，求 的分布列及數(shù)學期望 .
20.(本小題滿分12分)
已知拋物線 ： ，直線 交 于 兩點， 是線段 的中點，過點 作 軸的垂線交 于點
(Ⅰ)證明：拋物線 在點 的切線與 平行;
(Ⅱ)是否存在實數(shù) ，使以 為直徑的圓 經(jīng)過點 ?若存在，求 的值;若不存在，說明理由.
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)當 時，求 的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù) 在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
(ⅰ)求 的取值范圍;
(ⅱ)設兩個極值點分別為 ，證明: .
請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.
22. (本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系 中，以原點 為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，曲線 的極坐標方程為 .
(Ⅰ)求曲線 的普通方程和曲線 的直角坐標方程;
(Ⅱ)設 為曲線 上一點， 為曲線 上一點，求 的最小值.
23.(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知函數(shù) ，且 的解集為 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ，且 ，求證： .
高三數(shù)學試題參考答案(理科)
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分。)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C B C C A C A B D B
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)求 的最小正周期及對稱中心;
(Ⅱ)若 ，求 的最大值和最小值.
解：(Ⅰ) …4分
∴ 的最小正周期為 ， ……5分
令 ，則 ，
∴ 的對稱中心為 ……6分
(Ⅱ)∵ ∴ ......8分
∴ ∴ .......10分
∴當 時， 的最小值為 ;當 時， 的最大值為 ……12分
18.(本小題滿分12分)
如圖，在直三棱柱 中， ， 是棱 上
的一點， 是 的延長線與 的延長線的交點， 且 ∥平面 .
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)求二面角 的平面角的正弦值.
解：(Ⅰ)連接 交 于 ，連接 .
∵ ∥平面 ， 面 ，面 面
∴ ∥ ……………2分
又∵ 為 的中點，
∴ 為 中點∴ 為 中點 ……………4分
∴ ∴ ……………5分
(Ⅱ)∵在直三棱柱 中，
∴ ……………6分
以 為坐標原點，以 , 所在直線建立空間直角坐標系如圖所示。
由(Ⅰ)知 為 中點
∴點 坐標分別為
， ， ，
設平面 的法向量
∵ 且
∴ 取 ∴ ……………8 分
同理：平面 的法向量 ……………10分
設二面角 平面角為
則 ， ∴ ……………12分
19.(本小題滿分12分)
隨著蘋果7手機的上市，很多消費者覺得價格偏高，尤其是一部分大學生可望而不可及，因此“國美在線”推出無抵押分期付款的購買方式，某店對最近100位采用分期付款的購買者進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如下表所示.
付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期
頻數(shù) 35 25
10
已知分3期付款的頻率為0.15，并且銷售一部蘋果7手機，顧客分1期付款，其利潤為1000元;分2期或3期付款，其利潤為1500元;分4期或5 期付款，其利潤為2000元，以頻率作為概率.
(Ⅰ)求 ， 的值，并求事件 ：“購買蘋果7手機的3位顧客中，至多有1位分4期付款”的概率;
(Ⅱ)用 表示銷售一部蘋果7手機的 利潤，求 的分布列及數(shù)學期望 .
解：(Ⅰ)由 ，得 因為 所以 ………3分
………6分
(Ⅱ)設分期付款的分期數(shù)為 ，則
…8分
的所有可能取值為1000，1500，2000.
………10分
所以 的分布列為
1000 1500 2000
P 0.35 0.4 0.25
………12分
20.(本小題滿分12分)
已知拋物線 ： ，直線 交 于 兩點， 是線段 的中點，過點 作 軸的垂線交 于點
(Ⅰ)證明：拋物線 在點 的切線與 平行;
(Ⅱ)是否存在實數(shù) ，使以 為直徑的圓 經(jīng)過點 ，若存在，求出 的值;若不存在，請說明理由.
解：(Ⅰ)解法一：設 ， ，把 代入 得 ，
得 .
∵ ， 點的坐標為 . ………………………2分
∵ ∴ ，
即拋物線在點 處的切線的斜率為 . ………………………4分
∵直線 : 的的斜率為 ，∴ . ……………………6分
解法二：設 ， ，把 代入 得 ，
得 .
∵ ， 點的坐標為 . …… ………………2分
設拋物線在點 處的切線 的方程為 ，
將 代入上式得 ， ………………………4分
直線 與拋物線 相切， ， ， 即 . …………………6分
(Ⅱ)假設存在實數(shù) ，存在實數(shù) 使 為直徑的圓 經(jīng)過點 .
是 的中點， .
由(Ⅰ)知
軸， . …………………8分
∵
. ……………………10分
，∴ ，
故，存在實數(shù) 使 為直徑的圓 經(jīng)過點 . ………………12分
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(Ⅰ)當 時，求 的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù) 在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
(ⅰ)求 的取值范圍;
(ⅱ)設兩個極值點分別為 ，證明: .
解：(Ⅰ)當 時， ;
函數(shù) 的定義域為 ，
當 時， ;當 時， .
所以， 在 上單調(diào)遞減;在 上單調(diào)遞增. ………………4分
(Ⅱ) (ⅰ)依題意，函數(shù) 的定義域為 ，
所以方程 在 有兩個不同根.
即，方程 在 有兩個不同根.
(解法一)轉(zhuǎn)化為，函數(shù) 與函數(shù)
的圖像在 上有兩個不同交點，如圖.
可見，若令過原點且切于函數(shù) 圖像的直線斜率為 ，
只須 . ………………6分
令切點 ，所以 ，又 ，所以 ，
解得， ，于是 ，
所以 . ………………8分
(解法二)令 ，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù) 有兩個不同零點，
而 ( )
若 ，可見 在 上恒成立，所以 在 單調(diào)增，
此時 不可能有兩個不同零點. ………………5分
若 ，在 時， ，在 時， ，
所以 在 上單調(diào)增，在 上單調(diào)減，
從而 ………………6分
又因為在 時， ，在在 時， ，于是只須：
，即 ，所以 . ………………7分
綜上所述， ………………8分
(ⅱ)由(i)可知 分別是方程 的兩個根，
即 ， ，
不妨設 ，作差得， ，即 .
原不等式 等價于
令 ，則 ， ………………10分
設 ， ，
∴函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
∴ ，
即不等式 成立，
故所證不等式 成立. ………………12分
請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.
22. (本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系 中，以原點 為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，曲線 的極坐標方程為 .
(1)求曲線 的普通方程和曲線 的直角坐標方程;
(2)設 為曲線 上一點， 為曲線 上一點，求 的最小值.
解：(1)由 消去參數(shù) 得，曲線 的普通方程得 .....3分
由 得，曲線 的直角坐標方程為 ....5分
(2)設 ，則點 到曲線 的距離為
...........8分
當 時， 有最小值0，所以 的最小值為0 .............10分
23.(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知函數(shù) ，且 的解集為 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ，且 ，求證： .
解：(Ⅰ)因為 ，
所以 等價于 ，
由 有解，得 ，且其解集為 .
又 的解集為 ，故 ............5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，又 ， ∴ ≥ =9.
(或展開運用基本不等式)
關于高三上學期數(shù)學期中試卷
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
(1)已知集合 ，集合 ，則
(A) (B) (C) (D)
(2)設 ，則“ ”是“ ”的
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件
(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
(3)函數(shù) ，則
(A) (B) (C) (D)
(4)函數(shù) 的一個零點所在的區(qū)間是
(A) (B) (C) (D)
(5)已知函數(shù) ，若 ，則
(A) (B) (C) (D)
(6)已知 ， ，則 的值為
(A) (B) (C) (D)
(7)函數(shù) 是定義在 上的偶函數(shù)，在 單調(diào)遞增.若
，則實數(shù) 的取值范圍是
(A) (B) (C) (D)
(8)設角 的終邊過點 ，則
(A) (B) (C) (D)
(9)已知命題“ ，使 ”是假命題，則實數(shù) 的取值范圍是
(A) (B) (C) (D)
(10)將函數(shù) 的圖象向左平移 個單位，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為
(A) (B) (C) (D)
(11)函數(shù) ， 是 的導函數(shù)，則 的圖象大致是
(A) (B) (C) (D)
(12)設 是函數(shù) 的導函數(shù)， ，若對任意的 ，
，則 的解集為
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
二、填空題：本題共4小題，每小題5分。
(13)曲線 與直線 在第一象限所圍成的封閉圖形的面積為 .
(14)已知 ，則 .
(15)已知函數(shù) 有兩個零點，則實數(shù) 的取值范圍是 .
(16)對于函數(shù) ，有下列5個結論：
?、?， ，都有 ;
?、诤瘮?shù) 在 上單調(diào)遞減;
③ ，對一切 恒成立;
④函數(shù) 有3個零點;
?、萑絷P于 的方程 有且只有兩個不同的實根 ， ，則 .
則其中所有正確結論的序號是 .
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
(17)(本小題滿分10分)
已知函數(shù) 在 處有極值 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的單調(diào)區(qū)間.
(18)(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)求 的最小正周期;
(Ⅱ)判斷函數(shù) 在 上的單調(diào)性.
(19)(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)若 ，求 的取值范圍;
(Ⅱ)求 的最值及取得最值時對應的 的值.
(20)(本小題滿分12分)
命題 函數(shù) 是減函數(shù)，命題 ，使 ，若“ ”為真命題，“ ”為假命題，求 的取值范圍.
(21)(本小題滿分12分)
已知函數(shù) 滿足下列條件：
?、僦芷?;②圖象向右平移 個單位長度后對應函數(shù)為偶函數(shù);③ .
(Ⅰ)求函數(shù) 的解析式;
(Ⅱ)設 ， ， ，求 的值.
(22)(本小題滿分12分)
已知函數(shù) ， .
(Ⅰ)求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值;
(Ⅱ)設 在 內(nèi)恰有兩個極值點，求實數(shù) 的取值范圍;
(Ⅲ)設 ，方程 在區(qū)間 有解，求實數(shù) 的取值范圍.
數(shù)學(理科)參考答案及評分標準
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D B C C C A B C A B
二、填空題
(13) ; (14) ; (15) ; (16)①③⑤.
三、解答題
17.【解析】(Ⅰ)
由題意 ;…………4分
(Ⅱ)函數(shù)定義域為 …………6分
令 ， 單增區(qū)間為 ;…8分
令 ， 單減區(qū)間為 …10分
18.【解析】(Ⅰ)由題意知
…………4分
的最小正周期 …………6分
(Ⅱ) ， 時，
，…………8分
當 時，即 時， 單調(diào)遞減;…………10分
當 時，即 時， 單調(diào)遞增…………12分
19. 【解析】(Ⅰ) 在 單調(diào)遞增，
， ，所以 …………4分
(Ⅱ)
令 ，則由(Ⅰ)知：
所以 …………8分
對稱軸為 ，所以 ，此時 ……10分
，此時 …………12分
20.【解析】若命題 為真，則 ，
…………2分
所以若命題 為假，則 或 …………3分
若命題 為真，則 …………5分
所以若命題 為假， …………6分
由題意知： 兩個命題一真一假，即 真 假或 假 真…………8分
所以 或 …………10分
所以 或 …………12分
21.【解析】(Ⅰ) 的周期 ， …………1分
將 的圖象向右平移 個單位長度后得
由題意 的圖象關于 軸對稱，
即
又 …………4分
…………5分
…………6分
(Ⅱ)由 ，
…………8分
…………10分
…12分
22.【解析】(Ⅰ) ，由 ，可知 在 內(nèi)單調(diào)遞增， …………2分
，故 單調(diào)遞增. …………3分
在 上的最大值為 .…………4分
(Ⅱ) ，
，
由題意知： 在 有兩個變號零點，
即 在 有兩個變號零點 ..…………6分
令 ， ，
令 ，且 時， ， 單調(diào)遞增;
時， ， 單調(diào)遞減，..…………10分
又 ， ..…………8分
(III)
(ⅰ) 時, 不成立;
(ⅱ) 時, ，
設 ，
， 在 在上為單調(diào)遞減;
當 時， 時
…………12分
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