2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)試題和答案
2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)試題和答案
隨著2017高考的結(jié)束，2018的學(xué)生也進(jìn)入了高三的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要多做試卷，下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)?lái)的有關(guān)于高考數(shù)學(xué)的試題介紹，希望能夠幫助到大家。
2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)試題
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.( )
A. B. C. D.
2.設(shè)集合，.若，則( )
A. B. C. D.
3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞
4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
5.設(shè)，滿(mǎn)足約束條件，則的最小值是( )
A. B. C. D.
6.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有( )
A.12種 B.18種 C.24種 D.36種
7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則( )
A.乙可以知道四人的成績(jī) B.丁可以知道四人的成績(jī)
C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)
8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.若雙曲線(xiàn)(，)的一條漸近線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為( )
A.2 B. C. D.
10.已知直三棱柱中，，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
11.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為( )
A. B. C. D.1
12.已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是( )
A. BmC. D.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 .
14.函數(shù)()的最大值是 .
15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則 .
16.已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交軸于點(diǎn).若為的中點(diǎn)，則 .
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
(一)必考題：共60分。
17.(12分)
的內(nèi)角的對(duì)邊分別為 ,已知.
(1)求
(2)若 , 面積為2,求
18.(12分)
淡水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)某頻率直方圖如下：
設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg,估計(jì)A的概率;
填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：
箱產(chǎn)量<50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法
根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)
P() 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
19.(12分)
如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面BCD， E是PD的中點(diǎn)
(1)證明：直線(xiàn) 平面PAB
(2)點(diǎn)M在棱PC 上，且直線(xiàn)BM與底面ABCD所成銳角為 ，求二面角M-AB-D的余弦值
20. (12分)
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M做x軸的垂線(xiàn)，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足.
求點(diǎn)P的軌跡方程;
設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)x=-3上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)過(guò)C的左焦點(diǎn)F.
21.(12分)
已知函數(shù)且.
(1)求a;
(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.
(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計(jì)分。
22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
在直角坐標(biāo)系xy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.
(1)M為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OM上，且滿(mǎn)足,求點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線(xiàn)上，求面積的最大值.
23.[選修4-5：不等式選講](10分)
已知，證明：
(1);
(2).
2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)試題答案
一、選擇題
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D
7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B
二、填空題
13. 1.96 14. 1 15. 16. 6
三、解答題
17.解：
(1)由題設(shè)及，故
上式兩邊平方，整理得
解得
(2)由，故
又
由余弦定理及得
所以b=2
18.解：
(1)記“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于” 表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于”
舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于
故的估計(jì)值為0.62
新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于
故的估計(jì)值為0.66
因此，事件A的概率估計(jì)值
(2)
箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66
故有的把握產(chǎn)量養(yǎng)殖方法有關(guān).
(3)的直方圖面積為
，
箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為
故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為
.
(1)中點(diǎn)，連，.
為中點(diǎn)，,,由得，又
所以.四邊形為平行四邊形， .
又，
(2)
,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則
則，，，，
,
因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°，而是底面ABCD的法向量，所以
，
即(x-1)²+y²-z²=0
又M在棱PC上，設(shè)
由①，②得
所以M，從而
設(shè)是平面ABM的法向量，則
所以可取m=(0，-，2)于是
因此二面角M-AB-D的余弦值為
20.解
(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),設(shè)N(x0,0),
由得
因?yàn)镸(x0,y0)在C上，所以
因此點(diǎn)P的軌跡方程為
(2)由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3，t),P(m,n),則
，
由得，又由(1)知，故
3+3m-tn=0
所以，即.又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線(xiàn)垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.
21.解：
(1)的定義域?yàn)?/p>
設(shè)，則等價(jià)于
因?yàn)?/p>
若a=1，則.當(dāng)01時(shí)，>0，單調(diào)遞增.所以x=1是的極小值點(diǎn)，故
綜上，a=1
(2)由(1)知
設(shè)
當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞，在單調(diào)遞增
又，所以在有唯一零點(diǎn)x0，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí).
因?yàn)椋詘=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)
由
由得
因?yàn)閤=x0是f(x)在(0,1)的最大值點(diǎn)，由得
所以
22.解：
(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為，M的極坐標(biāo)為，由題設(shè)知
由得的極坐標(biāo)方程
因此的直角坐標(biāo)方程為
(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知
,于是△OAB面積
當(dāng)時(shí)，S取得最大值
所以△OAB面積的最大值為
23.解：
(1)
(2)因?yàn)?/p>
所以，因此a+b≤2
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