湘教版八年級上冊數(shù)學(xué)期末試卷
湘教版八年級上冊數(shù)學(xué)期末試卷
考場不是戰(zhàn)場，讓心保持平常。祝你八年級數(shù)學(xué)期末考順利，早日題名金榜!小編整理了關(guān)于湘教版八年級上冊數(shù)學(xué)期末試卷，希望對大家有幫助!
湘教版八年級上冊數(shù)學(xué)期末試題
一、選擇題：(本大題共10個小題，每小題3分，共30分)以下各小題，每小題都給出A、B、C、D四個選項，但其中只有一個選項符合題目的要求，請把它選出來，并把它的代號填在相應(yīng)的題目后的括號內(nèi).若選錯、多選、不選均計0分.
1.下列各數(shù)的立方根是﹣2的數(shù)是( )
A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8
2.下列運算結(jié)果為a6的是( )
A.a2+a3 B.a2•a3 C.(﹣a2)3 D.a8÷a2
3.對某班60名同學(xué)的一次數(shù)學(xué)測驗成績進行統(tǒng)計，如果頻數(shù)分布直方圖中80.5～90.5分這一組的頻數(shù)是18，那么這個班的學(xué)生這次數(shù)學(xué)測驗成績在80.5～90.5分之間的頻率是( )
A.18 B.0.4 C.0.3 D.0.35
4.下列多項式中能用公式進行因式分解的是( )
A.x2+4 B.x2+2x+4 C.x2﹣x+ D.x2﹣4y
5.若等腰三角形的有一個角為100°，則它一腰上的高與底邊的夾角是( )
A.50° B.40° C.10° D.80°
6.下列真命題中，逆命題也是真命題的是( )
A.全等三角形的對應(yīng)角都相等
B.如果兩個實數(shù)相等，那么這兩個實數(shù)的平方相等
C.對頂角相等
D.等邊三角形每一個都等于60°
7.△ABC的三邊為a、b、c，且(a+b)(a﹣b)=c2，則( )
A.△ABC是銳角三角形 B.c邊的對角是直角
C.△ABC是鈍角三角形 D.a邊的對角是直角
8.如圖，從邊長為(a+1)cm的正方形紙片中剪去一個邊長為(a﹣1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，則該矩形的面積是( )
A.2cm2 B.2acm2 C.4acm2 D.(a2﹣1)cm2
9.如圖，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF與BE交于點D.有下列結(jié)論：①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③點D在∠BAC的平分線上;④點C在AB的中垂線上.以上結(jié)論錯誤的有( )個.
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長(計算時視管道為線，中心O為點)是( )
A.2m B.3m C.6m D.9m
二、填空題：(本大題共六個小題每個3分，共計18分)
11.請你在橫線上寫一個無理數(shù)__________.
12.到一個角的兩邊距離相等的點都在__________.
13.若5x=12，5y=6，則5x﹣2y=__________.
14.如果多項式2x2﹣3kx+1能分解因式，其結(jié)果是(2x+1)(x+1)，則k=__________.
15.某住宅小區(qū)有一塊草坪如圖所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，這塊草坪的面積是__________米2.
16.定義運算a★b=(1﹣a)b，下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：
?、?★(﹣2)=3
②a★b=b★a
?、廴鬭+b=0，則(a★a)+(b★b)=2ab
④若a★b=0，則a=1或b=0.
其中正確結(jié)論的序號是__________(填上你認為正確的所有結(jié)論的序號).
三、解答題(本大題共8個小題，共72分)解答應(yīng)寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟.
17.計算下列各題
(1)(﹣2m+1)(2m+1)
(2)簡便計算：2014×2016﹣20152
(3)[(x﹣2y)2+(x﹣2y)(x+2y)﹣2x(2x﹣y)]÷2x.
18.把下列多項式分解因式
(1)﹣a+a3b2
(2)(x﹣1)(x﹣3)+1.
19.如圖，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求證：BC=DE.
20.為了解今年初二學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習情況，某校在第一輪模擬測試后，對初二全體同學(xué)的數(shù)學(xué)成績作了統(tǒng)計分析，繪制如圖表：
成績 頻數(shù) 頻率
優(yōu)秀 45 b
良好 a 0.3
合格 105 0.35
不合格 60 c
請結(jié)合圖表所給出的信息解答下列問題：
(1)該校初二學(xué)生共有多少人?
(2)求表中a，b，c的值，并補全條形統(tǒng)計圖.
21..閱讀下面材料：
在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：
小蕓的作法如圖：
請你回答：
(1)作圖第一步為什么要大于 AB的長?
(2)小蕓的作圖是否正確?請說明理由.
22.為了弘揚“社會主義核心價值觀”，樂至縣政府在廣場樹立公益廣告牌，如圖所示，為固定廣告牌，在兩側(cè)加固鋼纜，已知鋼纜底端D距廣告牌立柱距離CD為3米，從D點測得廣告牌頂端A點和底端B點的距離分別是5米和 米.
(1)求公益廣告牌的高度AB;
(2)求∠BDC的度數(shù).
23.仔細.觀察下列各式及其展開式：
請你根據(jù)上式各項系數(shù)的規(guī)律，求出(a+b)9的展開式.
24.如圖所示，四邊形ABCD為矩形(對邊相等，四個角是直角)，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點E，在BE上取一點F，使DF=EF=4.設(shè)AB=x，AD=y，求代數(shù)式 的值.
25.如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線.動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE.
(1)填空：∠CAM=__________度;
(2)若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC;
(3)當動點D在直線AM上時，設(shè)直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值?并說明理由.
湘教版八年級上冊數(shù)學(xué)期末試卷參考答案
一、選擇題：(本大題共10個小題，每小題3分，共30分)以下各小題，每小題都給出A、B、C、D四個選項，但其中只有一個選項符合題目的要求，請把它選出來，并把它的代號填在相應(yīng)的題目后的括號內(nèi).若選錯、多選、不選均計0分.
1.下列各數(shù)的立方根是﹣2的數(shù)是( )
A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8
【考點】立方根.
【專題】計算題;實數(shù).
【分析】利用立方根定義計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：立方根是﹣2的數(shù)是﹣8，
故選D
【點評】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關(guān)鍵.
2.下列運算結(jié)果為a6的是( )
A.a2+a3 B.a2•a3 C.(﹣a2)3 D.a8÷a2
【考點】同底數(shù)冪的除法;合并同類項;同底數(shù)冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪的乘除法以及積的乘方和冪的乘方進行計算即可.
【解答】解：A、a3÷a2不能合并，故A錯誤;
B、a2•a3=a5，故B錯誤;
C、(﹣a2•)3=﹣a6，故C錯誤;
D、a8÷a2=a6，故D正確;
故選D.
【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法、合并同類項以及積的乘方和冪的乘方，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.
3.對某班60名同學(xué)的一次數(shù)學(xué)測驗成績進行統(tǒng)計，如果頻數(shù)分布直方圖中80.5～90.5分這一組的頻數(shù)是18，那么這個班的學(xué)生這次數(shù)學(xué)測驗成績在80.5～90.5分之間的頻率是( )
A.18 B.0.4 C.0.3 D.0.35
【考點】頻數(shù)(率)分布直方圖;頻數(shù)與頻率.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)頻率、頻數(shù)的關(guān)系：頻率= 求解即可.
【解答】解：成績在80.5～90.5分之間的頻率為 =0.3.
故本題選C.
【點評】本題考查頻率、頻數(shù)的關(guān)系：頻率= .
4.下列多項式中能用公式進行因式分解的是( )
A.x2+4 B.x2+2x+4 C.x2﹣x+ D.x2﹣4y
【考點】因式分解-運用公式法.
【分析】A、兩項平方項的符號都為正;B、為完全平方公式的話，中間項應(yīng)為4x;C符合完全平方公式;D只有一項平方項.
【解答】解：A、不符合符號相反，錯誤;
B、不符合中間的那項為兩底數(shù)積的2倍，錯誤;
C、符合完全平方公式，正確;
D、不符合兩項平方項，錯誤.
故選C.
【點評】能否用公式法進行因式分解關(guān)鍵看是否符合相關(guān)公式的特點：能用平方差公式進行因式分解的式子的特點是：兩項平方項，符號相反;能用完全平方公式法進行因式分解的式子的特點是：兩項平方項的符號相同，另一項是兩底數(shù)積的2倍.
5.若等腰三角形的有一個角為100°，則它一腰上的高與底邊的夾角是( )
A.50° B.40° C.10° D.80°
【考點】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】已知給出了等腰三角形的頂角為100°，要求腰上的高與底邊的夾角可以根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半求解.
【解答】解：∵等腰三角形的有一個角為100°，
∴等腰三角形的頂角為100°
∴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半;
∴高與底邊的夾角為50°.
故選A.
【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，知道等腰三角形的一內(nèi)角為100°，則頂角為100°，讀懂題意，是解答本題的關(guān)鍵.
6.下列真命題中，逆命題也是真命題的是( )
A.全等三角形的對應(yīng)角都相等
B.如果兩個實數(shù)相等，那么這兩個實數(shù)的平方相等
C.對頂角相等
D.等邊三角形每一個都等于60°
【考點】命題與定理.
【分析】先分別寫出四個命題的逆命題，然后根據(jù)全等三角形的判定方法、平方根的定義、對頂角的定義和等邊三角形的判定方法判斷四個逆命題的真假.
【解答】解：A、“全等三角形的對應(yīng)角都相等”的逆命題為對應(yīng)角相等的兩三角形全等，此逆命題為假命題，所以A選項錯誤;
B、“如果兩個實數(shù)相等，那么這兩個實數(shù)的平方相等”的逆命題為如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個數(shù)相等，此逆命題為假命題，所以B選項錯誤;
C、“對頂角相等”的逆命題為如果兩個角相等，那么這兩個角為對頂角，此逆命題為假命題，所以C選項錯誤;
D、“等邊三角形每一個都等于60°”的逆命題為等每一個都等于60°的三角形為等邊三角形，此逆命題為真命題，所以D選項正確.
故選D.
【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.也考查了逆命題.
7.△ABC的三邊為a、b、c，且(a+b)(a﹣b)=c2，則( )
A.△ABC是銳角三角形 B.c邊的對角是直角
C.△ABC是鈍角三角形 D.a邊的對角是直角
【考點】勾股定理的逆定理.
【專題】探究型.
【分析】先把等式(a+b)(a﹣b)=c2化為a2=b2+c2的形式，再利用勾股定理的逆定理進行判斷即可.
【解答】解：∵(a+b)(a﹣b)=c2，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，a為斜邊，
∴a邊的對角是直角.
故選D.
【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，根據(jù)題意把等式化為a2=b2+c2的形式是解答此題的關(guān)鍵.
8.如圖，從邊長為(a+1)cm的正方形紙片中剪去一個邊長為(a﹣1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，則該矩形的面積是( )
A.2cm2 B.2acm2 C.4acm2 D.(a2﹣1)cm2
【考點】完全平方公式的幾何背景;平方差公式的幾何背景.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)題意得出矩形的面積是(a+1)2﹣(a﹣1)2，求出即可.
【解答】解：矩形ABCD的面積是S正方形EFGH﹣S正方形HQNM
=(a+1)2﹣(a﹣1)2，
=a2+2a+1﹣(a2﹣2a+1)，
=4a(cm2)，
故選C.
【點評】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的觀察圖形的能力和計算能力，題型較好，難度不大.
9.如圖，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF與BE交于點D.有下列結(jié)論：①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③點D在∠BAC的平分線上;④點C在AB的中垂線上.以上結(jié)論錯誤的有( )個.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠AFC=∠AEB=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠B=∠C，由全等三角形的判定定理得到△ABE≌△ACF(ASA)，故①選項正確，由AE=AF，AC=AB，得BF=CE，于是得到△BDF≌△CDE，選項②正確，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AF，AC=AB，連接AD，證得Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAF=∠DAE，即點D在∠BAC的平分線上，選項③正確，而點F不一定是AB的中點，故④錯誤.
【解答】證明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠AFC=∠AEB=90°，故在Rt△AEB中，∠B=90°﹣∠A，在Rt△AFC中∠C=90°﹣∠A，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
故①選項正確，
由AE=AF，AC=AB，得BF=CE，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE，選項②正確，
∵△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，AC=AB，
連接AD，
在Rt△AFD和Rt△AED中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，
∴∠DAF=∠DAE，即點D在∠BAC的平分線上，選項③正確，
而點F不一定是AB的中點，故④錯誤.
故選A.
【點評】本題主要考查了垂直定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，熟記三角形判定定理是解決問題的關(guān)鍵.
10.如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長(計算時視管道為線，中心O為點)是( )
A.2m B.3m C.6m D.9m
【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;勾股定理.
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)：△ABC的面積=△AOB的面積+△BOC的面積+△AOC的面積即可求解.
【解答】解：在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m.
則AB= = =10.
∵中心O到三條支路的距離相等，設(shè)距離是r.
△ABC的面積=△AOB的面積+△BOC的面積+△AOC的面積
即： AC•BC= AB•r+ BC•r+ AC•r
即：6×8=10r+8r+6r
∴r= =2.
故O到三條支路的管道總長是2×3=6m.
故選：C.
【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，三角形內(nèi)心到三角形的各邊的距離相等，利用三角形的面積的關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵.
二、填空題：(本大題共六個小題每個3分，共計18分)
11.請你在橫線上寫一個無理數(shù) .
【考點】無理數(shù).
【專題】開放型.
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).
【解答】解：無理數(shù)有 (π等，答案不唯一).
故答案是： .
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習的無理數(shù)有：π，2π等;開方開不盡的數(shù);以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù).
12.到一個角的兩邊距離相等的點都在這個角的平分線上.
【考點】角平分線的性質(zhì).
【分析】熟記角平分線的性質(zhì)定理，容易填出：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
【解答】解：根據(jù)定義可知：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上、角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
【點評】此題主要考查學(xué)生對角平分線的性質(zhì)定理識記情況，應(yīng)熟記且能靈活應(yīng)用這些性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵.
13.若5x=12，5y=6，則5x﹣2y= .
【考點】同底數(shù)冪的除法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)冪的乘方，可得同底數(shù)冪的除法，根據(jù)同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，可得答案.
【解答】解：52y=(5y)2=36.
5x﹣2y=5x÷52y=12÷36= ，
故答案為： .
【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法，利用冪的乘方得出同底數(shù)冪的除法是解題關(guān)鍵.
14.如果多項式2x2﹣3kx+1能分解因式，其結(jié)果是(2x+1)(x+1)，則k=﹣1.
【考點】因式分解-十字相乘法等.
【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式，可得2x2﹣3kx+1=(2x+1)(x+1)，再根據(jù)整式的乘法，可得多項式，根據(jù)相等多項式中相應(yīng)的項的系數(shù)相等，可得答案.
【解答】解：2x2﹣3kx+1=(2x+1)(x+1)，
(2x+1)(x+1)=2x2+3x+1=2x2﹣3kx+1，
﹣3k=3，
解得k=﹣1，
故答案為：﹣1.
【點評】本題考查了因式分解，相等多項式中相應(yīng)的項的系數(shù)相等得出﹣3k=3是解題關(guān)鍵.
15.某住宅小區(qū)有一塊草坪如圖所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，這塊草坪的面積是36米2.
【考點】勾股定理的逆定理;勾股定理.
【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理，求得AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷三角形ACD是直角三角形.這塊草坪的面積等于兩個直角三角形的面積之和.
【解答】解：連接AC，如圖，
∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，
∵AB=3米，BC=4米，∴AC=5米，
∵CD=12米，DA=13米，
∴△ACD為直角三角形，
∴草坪的面積等于=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36米2.
故答案為36.
【點評】此題主要考查了勾股定理的運用及直角三角形的判定等知識點，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形.
16.定義運算a★b=(1﹣a)b，下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：
①2★(﹣2)=3
?、赼★b=b★a
?、廴鬭+b=0，則(a★a)+(b★b)=2ab
?、苋鬭★b=0，則a=1或b=0.
其中正確結(jié)論的序號是③④(填上你認為正確的所有結(jié)論的序號).
【考點】因式分解的應(yīng)用.
【專題】新定義.
【分析】根據(jù)題中的新定義計算得到結(jié)果，即可作出判斷.
【解答】解：①2★(﹣2)=(1﹣2)×(﹣2)=2，本選項錯誤;
?、赼★b=(1﹣a)b，b★a=(1﹣b)a，故a★b不一定等于b★a，本選項錯誤;
?、廴鬭+b=0，則(a★a)+(b★b)=(1﹣a)a+(1﹣b)b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本選項正確;
?、苋鬭★b=0，即(1﹣a)b=0，則a=1或b=0，本選項正確，
其中正確的有③④.
故答案為③④.
【點評】此題考查了整式的混合運算，以及有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.
三、解答題(本大題共8個小題，共72分)解答應(yīng)寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟.
17.計算下列各題
(1)(﹣2m+1)(2m+1)
(2)簡便計算：2014×2016﹣20152
(3)[(x﹣2y)2+(x﹣2y)(x+2y)﹣2x(2x﹣y)]÷2x.
【考點】整式的混合運算.
【專題】計算題;整式.
【分析】(1)原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果;
(2)原式變形后，利用平方差公式化簡，計算即可得到結(jié)果;
(3)原式中括號中利用完全平方公式，平方差公式，以及單項式乘以多項式法則計算，去括號合并后利用多項式除以單項式法則計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：(1)原式=1﹣(2m)2=1﹣4m2;
(2)原式=×﹣20152=20152﹣1﹣20152=﹣1;
(2)原式=(x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy)÷2x=(﹣2x2﹣2xy)÷2x=﹣x﹣y.
【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.
18.把下列多項式分解因式
(1)﹣a+a3b2
(2)(x﹣1)(x﹣3)+1.
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【專題】計算題;因式分解.
【分析】(1)原式提取a，再利用平方差公式分解即可;
(2)原式整理后，利用完全平方公式分解即可.
【解答】解：(1)原式=﹣a(1﹣a2b2)=﹣a(1+ab)(1﹣ab);
(2)原式=x2﹣4x+4=(x﹣2)2.
【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
19.如圖，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求證：BC=DE.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】先證出∠CAB=∠DAE，再由SAS證明△BAC≌△DAE，得出對應(yīng)邊相等即可.
【解答】證明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中， ，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴BC=DE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.
20.為了解今年初二學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習情況，某校在第一輪模擬測試后，對初二全體同學(xué)的數(shù)學(xué)成績作了統(tǒng)計分析，繪制如圖表：
成績 頻數(shù) 頻率
優(yōu)秀 45 b
良好 a 0.3
合格 105 0.35
不合格 60 c
請結(jié)合圖表所給出的信息解答下列問題：
(1)該校初二學(xué)生共有多少人?
(2)求表中a，b，c的值，并補全條形統(tǒng)計圖.
【考點】條形統(tǒng)計圖;頻數(shù)(率)分布表.
【專題】計算題.
【分析】(1)用合格的人數(shù)除以它所占的百分比即可得到該校初二學(xué)生的總?cè)藬?shù);
(2)先用總?cè)怂?00乘以0.3即可得到a的值，再用45除以總?cè)藬?shù)300即可得到b的值，然后60除以300即可得到c的值，再補全統(tǒng)計圖.
【解答】解：(1)105÷0.35=300(人);
即該校初二學(xué)生共有300人;
(2)a=300×0.3=90，
b=45÷300=0.15，
c= =0.2，
條形統(tǒng)計圖為：
【點評】本題考查了條形統(tǒng)計圖：條形統(tǒng)計圖是用線段長度表示數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的矩形直條，然后按順序把這些直條排列起來;從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小，便于比較.
21..閱讀下面材料：
在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：
小蕓的作法如圖：
請你回答：
(1)作圖第一步為什么要大于 AB的長?
(2)小蕓的作圖是否正確?請說明理由.
【考點】作圖—基本作圖;全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)如果等于 AB，那么只相交一點;如果小于 AB，那么沒有相交;
(2)依據(jù)SSS證明△CAD≌△CBD，從而得到CD是AB的對稱軸，故此CD是AB的垂直平分線.
【解答】解：(1)如果等于 ，那么只相交一點;如果小于 ，那么沒有相交
所以作圖第一步要大于 AB的長.
(2)小蕓的作圖是正確的.
理由：由作圖知：AC=AD BC=BD 而CD是兩個三角形的公共邊.
∵在△CAD和△CBD中
∴△CAD≌△CBD(SSS).
∴CD是AB的對稱軸
∴CD是AB的垂直平分線.
【點評】本題主要考查的值基本作圖﹣線段垂直平分線的作法，證得△CAD≌△CBD是解題的關(guān)鍵.
22.為了弘揚“社會主義核心價值觀”，樂至縣政府在廣場樹立公益廣告牌，如圖所示，為固定廣告牌，在兩側(cè)加固鋼纜，已知鋼纜底端D距廣告牌立柱距離CD為3米，從D點測得廣告牌頂端A點和底端B點的距離分別是5米和 米.
(1)求公益廣告牌的高度AB;
(2)求∠BDC的度數(shù).
【考點】勾股定理的應(yīng)用.
【分析】(1)直接利用勾股定理得出AC的長，進而得出BC的長即可得出AB的長;
(2)利用已知結(jié)合(1)中所求得出△DBC是等腰直角三角形，進而得出答案.
【解答】解：(1)在直角三角形ADC中，
AC= = =4(m)，
在直角三角形BDC中，
BC= = =3(m)，
故AB=AC﹣BC=1(米)
答：公益廣告牌的高度AB的長度為1m;
(2)∵在直角三角形BDC中，BC=CD=3m，
∴△DBC是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°.
【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.
23.仔細.觀察下列各式及其展開式：
請你根據(jù)上式各項系數(shù)的規(guī)律，求出(a+b)9的展開式.
【考點】完全平方公式.
【專題】規(guī)律型.
【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)圖形得出即可.
【解答】解：如圖：
(a+b)9=a9+9a8b+36a7b2+84a6b3+126a5b4+126a4b5+84a3b6+36a2b7+9ab8+b9.
【點評】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，能根據(jù)題意得出圖形是解此題的關(guān)鍵.
24.如圖所示，四邊形ABCD為矩形(對邊相等，四個角是直角)，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點E，在BE上取一點F，使DF=EF=4.設(shè)AB=x，AD=y，求代數(shù)式 的值.
【考點】勾股定理;矩形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)得出∠BDF=∠DBF，因此DF=BF=4，得出CF=4﹣x，由勾股定理求出DF，即可得出代數(shù)式 的值.
【解答】解：由題意知：AB=CD=x，AD=BC=y，CD⊥BE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDF+∠FDE=90°∠DBF+∠E=90°，
∵DF=EF，
∴∠E=∠FDE，
∴∠BDF=∠DBF，
∴DF=BF=4，
∴CF=4﹣x，
在Rt△CDF中 ，
∴ = .
【點評】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握勾股定理，證出DF=BF是解決問題的關(guān)鍵.
25.如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線.動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE.
(1)填空：∠CAM=30度;
(2)若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC;
(3)當動點D在直線AM上時，設(shè)直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值?并說明理由.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質(zhì)就可以∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC;
(3)分情況討論：當點D在線段AM上時，如圖1，由(2)可知△ACD≌△BCE，就可以求出結(jié)論;當點D在線段AM的延長線上時，如圖2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出結(jié)論;當點D在線段MA的延長線上時，如圖3，通過得出△ACD≌△BCE同樣可以得出結(jié)論.
【解答】解：(1)∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°.
∵線段AM為BC邊上的中線
∴∠CAM= ∠BAC，
∴∠CAM=30°.
故答案為：30;
(2)∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中
，
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(3)∠AOB是定值，∠AOB=60°，
理由如下：
?、佼旤cD在線段AM上時，如圖1，由(2)可知△ACD≌△BCE，則∠CBE=∠CAD=30°，
又∠ABC=60°
∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°，
∵△ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線
∴AM平分∠BAC，即
∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
②當點D在線段AM的延長線上時，如圖2，
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴∠CBE=∠CAD=30°，
同理可得：∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
?、郛旤cD在線段MA的延長線上時，
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴∠CBE=∠CAD
同理可得：∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
綜上，當動點D在直線AM上時，∠AOB是定值，∠AOB=60°.
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，等式的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵.
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