十個(gè)出人意料的數(shù)學(xué)公式

　　數(shù)學(xué)公式是人們?cè)谘芯孔匀唤缥锱c物之間時(shí)發(fā)現(xiàn)的一些聯(lián)系，并通過(guò)一定的方式表達(dá)出來(lái)的一種表達(dá)方法。是表征自然界不同事物之?dāng)?shù)量之間的或等或不等的聯(lián)系，它確切的反映了事物內(nèi)部和外部的關(guān)系，是我們從一種事物到達(dá)另一種事物的依據(jù)，使我們更好的理解事物的本質(zhì)和。今天小編給大家?guī)?lái)十個(gè)出人意料的數(shù)學(xué)公式，帶領(lǐng)大家走進(jìn)數(shù)學(xué)公式。

　　1. 歐拉恒等式

　　這是一個(gè)非常著名的恒等式。它給出了3個(gè)看似隨機(jī)的量之間的聯(lián)系：π、e和-1的平方根。許多人認(rèn)為這是數(shù)學(xué)中最漂亮的公式。

　　一個(gè)更一般的公式是e^(ix) =cosx+isinx (a^b表示a的b次方，下同)。當(dāng)x=π，cosx取值為-1，而isinx取值為0。由-1+1=0，我們得到了歐拉恒等式。

　　2. 歐拉乘積公式

　　等式左邊的符號(hào)是無(wú)窮求和，而右邊的符號(hào)則是無(wú)窮乘積。這個(gè)公式也是歐拉首先發(fā)現(xiàn)的。它聯(lián)系了出現(xiàn)在等式左邊的自然數(shù)(如n=1，2，3，4，5等等)與出現(xiàn)在等式右邊的素?cái)?shù)(如p=2，3，5，7，11等等)。而且我們可以選取s為任意大于1的數(shù)，并保證等式成立。

　　歐拉乘積公式的左邊是黎曼ζ函數(shù)最常見(jiàn)的一種表示形式。

　　3. 高斯積分

　　函數(shù)e^(-x?2;)本身在積分中是很難對(duì)付的。可是當(dāng)我們對(duì)它在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上積分，也就是說(shuō)從負(fù) 無(wú)窮到正無(wú)窮時(shí)，我們卻得到了一個(gè)十分干凈的答案。至于為什么曲線下面的面積是π的平方根，這可不是一眼就能看出來(lái)的。

　　由于這個(gè)公式代表了正態(tài)分布，它在統(tǒng)計(jì)中也十分重要。

　　4. 連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)

　　上面的公式說(shuō)明了實(shí)數(shù)集的基數(shù)與自然數(shù)全體子集的基數(shù)相同。這首先是被集合論的建立者康托爾證明的。值得注意的是，這也說(shuō)明了連續(xù)統(tǒng)是不可數(shù)，因?yàn)?^N > N。

　　一個(gè)相關(guān)的假設(shè)是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。這個(gè)假設(shè)是說(shuō)，在N和R之間不存在其它的基數(shù)。有趣的是，這個(gè)假設(shè)有一個(gè)奇怪的性質(zhì)：它既不能被證明也不能被證偽。

　　5. 階乘函數(shù)的解析延拓

　　階乘函數(shù)通常被定義為n!=n(n-1)(n-2)……1。但是這個(gè)定義只對(duì)n是正整數(shù)時(shí)有效，而上面積分方程則對(duì)分?jǐn)?shù)和小數(shù)也有效，而且還可以用于負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)等等……

　　同樣的積分式中我們把n換成n-1就定義了伽馬函數(shù)。

　　6. 勾股定理

　　勾股定理恐怕是這個(gè)清單中最熟悉的公式了。它給出了直角三角形三邊的聯(lián)系，其中a和b是直角邊長(zhǎng)，而c是斜邊長(zhǎng)。這個(gè)公式還將三角形和正方形聯(lián)系了起來(lái)。

　　7. 斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)

　　這里，注意到φ這個(gè)數(shù)字是黃金分割比例。很多人可能聽(tīng)說(shuō)過(guò)斐波那契數(shù)列(0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，數(shù)列中每一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和)，卻很少人知道有一個(gè)公式能夠計(jì)算出任意某一項(xiàng)斐波那契數(shù)：這就是上面我們給出的公式，公式里面F(n)代表第n個(gè)斐波那契數(shù)。也就是說(shuō)，為了得到第100個(gè)斐波那契數(shù)，你不需要去計(jì)算前99個(gè)，而只需要把100代入公式。

　　值得注意的是，即便在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)了許多根號(hào)和除法，最后的答案總是一個(gè)精確的正整數(shù)。

　　8. 巴塞爾問(wèn)題

　　這個(gè)公式告訴我們，如果你取所有完全平方數(shù)并將它們的倒數(shù)和相加，你將會(huì)得到\pi^2/6。這是歐拉首先證明的。注意到這個(gè)式子只是在前面的第二個(gè)方程(歐拉乘積公式)中令s=2。后者是黎曼ζ方程，因此我們可以說(shuō)ζ(2)的值是π?2;/6。

　　9. 調(diào)和級(jí)數(shù)

　　這個(gè)公式有點(diǎn)反直覺(jué)，因?yàn)樗嬖V我們，如果你把一些不斷變小的數(shù)(最終趨向0)加起來(lái)，最后將會(huì)得到無(wú)窮?？墒侨绻闶侨∷鼈兊钠椒?，和卻是一個(gè)有限的值(答案是π?2;/6)。如果仔細(xì)觀察調(diào)和級(jí)數(shù)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它正是ζ(1)。

　　10. 素?cái)?shù)計(jì)數(shù)公式的顯式表達(dá)

　　這個(gè)方程的重要性體現(xiàn)在：

　　素?cái)?shù)是那些除了1和它本身以外沒(méi)有其它因子的數(shù)。小于100的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 。 由此可知，素?cái)?shù)的出現(xiàn)沒(méi)有顯然的規(guī)律：對(duì)于一串連續(xù)正整數(shù)，有時(shí)候你會(huì)找到許多素?cái)?shù)，有時(shí)候你會(huì)一個(gè)也找不到。找到很多或一個(gè)找不到似乎是完全隨機(jī)的。

　　很長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)，數(shù)學(xué)家都在嘗試給出素?cái)?shù)分布的規(guī)律。上面的公式正是不大于一個(gè)給定數(shù)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的顯式表達(dá)。

　　以下是各個(gè)符號(hào)的意義：

　　π(x): 素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)。它給出了不大于一個(gè)給定數(shù)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。例如，π(6)=3，因?yàn)橛?個(gè)素?cái)?shù)不大于6：2，3，5。

　　μ(n): 莫比烏斯函數(shù)。它依據(jù)n的質(zhì)因數(shù)分解而取值為0， -1或1。

　　Li(x): 對(duì)數(shù)積分函數(shù)。它被定義為函數(shù)1/lnt從2到x的積分。

　　ρ: 黎曼ζ函數(shù)的任意非平凡零點(diǎn)。

　　令人吃驚的是，整個(gè)公式的結(jié)果總是一個(gè)精確的正整數(shù)!這說(shuō)明，給定一個(gè)實(shí)數(shù)，我們可以把它代入公式并得到不大于它的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。存在著這樣一個(gè)公式的事實(shí)說(shuō)明，素?cái)?shù)的分布存在某些規(guī)律，只是我們現(xiàn)在還不能理解罷了。