初二數(shù)學(xué)實數(shù)思維導(dǎo)圖

初二數(shù)學(xué)實數(shù)思維導(dǎo)圖

　　數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖可以有意識地培養(yǎng)學(xué)生的思維外顯能力。下面小編精心整理了初二數(shù)學(xué)實數(shù)思維導(dǎo)圖，供大家參考，希望你們喜歡!

　　初二數(shù)學(xué)實數(shù)思維導(dǎo)圖匯總

　　實數(shù)的完備有序域

　　實數(shù)集合通常被描述為“完備的有序域”，這可以幾種解釋。

　　首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發(fā)現(xiàn)沒有有序域會是完備格。這是由于有序域沒有最大元素(對任意元素 ， 將更大)。所以，這里的“完備”不是完備格的意思。

　　另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經(jīng)定義。上述的唯一性也說明了這里的“完備”是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近采用戴德金分割來構(gòu)造實數(shù)的方法，即從(有理數(shù))有序域出發(fā)，通過標(biāo)準(zhǔn)的方法建立戴德金完備性。

　　這兩個完備性的概念都忽略了域的結(jié)構(gòu)。然而，有序群(域是種特殊的群)可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。(這里采用一致空間中的完備性概念，而不是相關(guān)的人們熟知的度量空間的完備性，這是由于度量空間的定義依賴于實數(shù)的性質(zhì)。)當(dāng)然，并不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上，“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見?？梢宰C明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的(當(dāng)然反之亦然)。這個完備性的意思非常接近采用柯西序列來構(gòu)造實數(shù)的方法，即從(有理數(shù))阿基米德域出發(fā)，通過標(biāo)準(zhǔn)的方法建立一致完備性。

　　“完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同于上述的意思。他認為，實數(shù)構(gòu)成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 的子域。這樣 是“完備的”是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個完備性的意思非常接近用超實數(shù)來構(gòu)造實數(shù)的方法，即從某個包含所有(超實數(shù))有序域的純類出發(fā)，從其子域中找出最大的阿基米德域。

　　實數(shù)的基本定理

　　實數(shù)系的基本定理也稱實數(shù)系的完備性定理、實數(shù)系的連續(xù)性定理，這些定理分別是確界存在定理、單調(diào)有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、致密性定理、閉區(qū)間套定理和柯西收斂準(zhǔn)則，共7個定理，它們彼此等價，以不同的形式刻畫了實數(shù)的連續(xù)性，它們同時也是解決數(shù)學(xué)分析中一些理論問題的重要工具，在微積分學(xué)的各個定理中處于基礎(chǔ)的地位。7個基本定理的相互等價不能說明它們都成立，只能說明它們同時成立或同時不成立，這就需要有更基本的定理來證明其中之一成立，從而說明它們同時都成立，引進方式主要是承認戴德金公理，然后證明這7個基本定理與之等價，以此為出發(fā)點開始建立微積分學(xué)的一系列概念和定理。在一些論文中也有一些新的等價定理出現(xiàn)，但這7個定理是教學(xué)中常見的基本定理。

　　一、上(下)確界原理

　　非空有上(下)界數(shù)集必有上(下)確界。

　　二、單調(diào)有界定理

　　單調(diào)有界數(shù)列必有極限。具體來說：

　　單調(diào)增(減)有上(下)界數(shù)列必收斂。

　　三、閉區(qū)間套定理(柯西-康托爾定理)

　　對于任何閉區(qū)間套，必存在屬于所有閉區(qū)間的公共點。若區(qū)間長度趨于零，則該點是唯一公共點。

　　四、有限覆蓋定理(博雷爾-勒貝格定理，海涅-波雷爾定理)

　　閉區(qū)間上的任意開覆蓋，必有有限子覆蓋?；蛘哒f：閉區(qū)間上的任意一個開覆蓋，必可從中取出有限個開區(qū)間來覆蓋這個閉區(qū)間。

　　五、極限點定理(波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理、聚點定理)

　　有界無限點集必有聚點。或者說：每個無窮有界集至少有一個極限點。

　　六、有界閉區(qū)間的序列緊性(致密性定理)

　　有界數(shù)列必有收斂子列。

　　七、完備性(柯西收斂準(zhǔn)則)

　　數(shù)列收斂的充要條件是其為柯西列?；蛘哒f：柯西列必收斂，收斂數(shù)列必為柯西列。

　　注：只有充要條件的命題才能稱之為“準(zhǔn)則”，否則不能稱為“準(zhǔn)則”。

　　以上7個命題稱為實數(shù)系的基本定理。實數(shù)系的7個基本定理以不同形式刻畫了實數(shù)的連續(xù)性，它們彼此等價。在證明中，可采用單循環(huán)證明的方式證明它們的等價性。它們之間等價性的證明可以參看《數(shù)學(xué)分析札記》。

　　在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明中，實數(shù)系的基本定理是非常重要的工具，但是它們之間的等價性不能說明它們都成立，必須要有更基本的定理來證明其中之一成立，從而以上的命題都成立，進過反復(fù)仔細琢磨，問題就歸結(jié)為實數(shù)的引入問題了。如在菲赫金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》 中，可以用實數(shù)的連續(xù)性來推出確界定理，在華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《數(shù)學(xué)分析(上冊)》(第四版)中就通過實數(shù)十進制小數(shù)形式推出確界定理，這也說明了建立實數(shù)系的嚴(yán)格定義的重要性。從邏輯上，應(yīng)該是先建立了實數(shù)，有了實數(shù)的定義之后，再得出實數(shù)系的基本定理，從而能夠在實數(shù)域上建立起嚴(yán)格的極限理論，最后得到嚴(yán)格的微積分理論，但數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展恰恰相反，最先產(chǎn)生的是微積分理論，而嚴(yán)格的極限理論是在19世紀(jì)初才開始建立的，實數(shù)系的基本定理已經(jīng)基本形成了之后，19世紀(jì)末實數(shù)理論才誕生，這時分析的算數(shù)化運動才大致完成。

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