圓錐曲線的定義、概念與定理
圓錐曲線的定義、概念與定理
圓錐曲線包括橢圓，拋物線，雙曲線。那么你對圓錐曲線的定義了解多少呢?以下是由學習啦小編整理關于圓錐曲線的定義的內(nèi)容，希望大家喜歡!
圓錐曲線的定義
幾何觀點
用一個平面去截一個二次錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線(conic sections)。
通常提到的圓錐曲線包括橢圓，雙曲線和拋物線，但嚴格來講，它還包括一些退化情形。具體而言：
1) 當平面與二次錐面的母線平行，且不過圓錐頂點，結(jié)果為拋物線。
2) 當平面與二次錐面的母線平行，且過圓錐頂點，結(jié)果退化為一條直線。
3) 當平面只與二次錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點，結(jié)果為橢圓。
4) 當平面只與二次錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點，并與圓錐的對稱軸垂直，結(jié)果為圓。
5) 當平面只與二次錐面一側(cè)相交，且過圓錐頂點，結(jié)果為一點。
6) 當平面與二次錐面兩側(cè)都相交，且不過圓錐頂點，結(jié)果為雙曲線(每一支為此二次錐面中的一個圓錐面與平面的交線)。
7) 當平面與二次錐面兩側(cè)都相交，且過圓錐頂點，結(jié)果為兩條相交直線。
代數(shù)觀點
在笛卡爾平面上，二元二次方程 的圖像是圓錐曲線。根據(jù)判別式的不同，也包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。
焦點--準線觀點
(嚴格來講，這種觀點下只能定義圓錐曲線的幾種主要情形，因而不能算是圓錐曲線的定義。但因其使用廣泛，并能引導出許多圓錐曲線中重要的幾何概念和性質(zhì))。
給定一點P，一直線L以及一非負實常數(shù)e，則到P的距離與L距離之比為e的點的軌跡是圓錐曲線。
根據(jù)e的范圍不同，曲線也各不相同。具體如下：
1) e=0，軌跡為圓(橢圓的特例);
2) e=1(即到P與到L距離相同)，軌跡為拋物線 ;
3) 0<e<1，軌跡為橢圓;
4) e>1，軌跡為雙曲線的一支。
圓錐曲線的概念
(以下以純幾何方式敘述主要的圓錐曲線通用的概念和性質(zhì)，由于大部分性質(zhì)是在焦點-準線觀點下定義的，對于更一般的退化情形，有些概念可能不適用。)
考慮焦點--準線觀點下的圓錐曲線定義。定義中提到的定點，稱為圓錐曲線的焦點;定直線稱為圓錐曲線的準線;固定的常數(shù)(即圓錐曲線上一點到焦點與準線的距離比值)稱為圓錐曲線的離心率;焦點到準線的距離稱為焦準距;焦點到曲線上一點的線段稱為焦半徑。過焦點、平行于準線的直線與圓錐曲線相交于兩點，此兩點間的線段稱為圓錐曲線的通徑，物理學中又稱為正焦弦。
圓錐曲線是光滑的，因此有切線和法線的概念。
類似圓，與圓錐曲線交于兩點的直線上兩交點間的線段稱為弦;過焦點的弦稱為焦點弦。
對于同一個橢圓或雙曲線，有兩個“焦點-準線”的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線有兩個焦點和兩條準線。而拋物線只有一個焦點和一條準線。
圓錐曲線關于過焦點與準線垂直的直線對稱，在橢圓和雙曲線的情況，該直線通過兩個焦點，該直線稱為圓錐曲線的焦軸。對于橢圓和雙曲線，還關于焦點連線的垂直平分線對稱。
Pappus定理：圓錐曲線上一點的焦半徑長度等于該點到相應準線的距離乘以離心率。
Pascal定理：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形，若對邊兩兩不平行，則該六邊形對邊延長線的交點共線。(對于退化的情形也適用)
Brianchon定理：圓錐曲線的外切六邊形，其三條對角線共點。
圓錐曲線的定理
由比利時數(shù)學家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇淋定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點-準線定義的等價性。
即有一以Q為頂點的圓錐(蛋筒)，有一平面π'(你也可以說是餅干)與其相截得到了圓錐曲線，作球與平面π'及圓錐相切，在曲線為橢圓或雙曲線時平面與球有兩個切點，拋物線只有一個(或者另一個在無窮遠處)，則切點為焦點。又球與圓錐之交為圓，設以此圓所在平面π與π'之交為直線d(曲線為圓時d為無窮遠線)，則d為準線。
圖只畫了橢圓，證明對拋物線雙曲線都適用，即證，任一個切點為焦點，d為準線。
證：假設P為曲線上一點，聯(lián)線PQ交圓O于E。設平面π′與π的交角為α，圓錐的母線(如PQ)與平面π的交角為β。設P到平面π 的垂足為H，H到直線d的垂足為R，則PR為P到d的垂線(三垂線定理)，而∠PRH=α。因為PE、PF同為圓球之切線，得PE=PF。
如此則有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH
其中：PF/PR=sinα/sinβ為常數(shù)。
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